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Lexikon der Mathematik: Hyperebenenfeld

ordnet jedem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M einen Unterraum der Kodimension 1 des Tangentialraums an diesem Punkt in glatter Weise zu, gleichbedeutend mit Unterbündel der Kodimension 1 des Tangentialbündels von M.

Jedes Hyperebenenfeld kann auch als nichtverschwindender C-Schnitt der Mannigfaltigkeit der Kontaktelemente (des projektivierten Kotangentialbündels) angesehen werden, wobei obige Unterräume als Kerne des Schnitts hervorgehen. Ein Hyperebenenfeld wird nichtentartet genannt, falls M ungerade Dimension 2n + 1 hat, und für jeden Punkt m von M folgende Bedingung erfüllt ist: Man wähle in einer geeigneten offenen Umgebung von m eine 1-Form ϑ, deren Kern genau das Hyperebenenfeld ergibt; dann soll (ϑ ∧ ()∧n)(m) nicht verschwinden (die Bedingung hängt von der Wahl von ϑ nicht ab). Die äußere Ableitung jeder solchen 1-Form ϑ induziert auf jedem Unterraum der Kodimension 1 des Hyperebenenfelds eine symplektische 2-Form, die sich für unterschiedliche Wahlen von ϑ nur durch einen nichtverschwindenden Vorfaktor ändert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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