Ausdehnung der Kohomologie auf Komplexe.

Für die Kategorie der Kokettenkomplexe einer abelschen Kategorie \begin{eqnarray}{\mathscr{A}}\end{eqnarray} und einen linksexakten Funktor \begin{eqnarray}F:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B} \end{eqnarray} in eine abelsche Kategorie \begin{eqnarray}{\mathscr{B}}\end{eqnarray} ist die Hyperkohomologie wie folgt definiert:

F läßt sich fortsetzen zu einem Funktor \begin{eqnarray}{F}^{* }:{{\mathscr{C}}}^{\bullet }({\mathscr{A}})\to {{\mathscr{C}}}^{\bullet }( {\mathcal B} )\end{eqnarray} auf die Kategorie der Kokettenkomplexe (komponentenweise) und zu einem linksexakten Funktor \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}F\circ {H}^{0} & : & {C}^{0}(A)\to B\\ {A}^{* } & \mapsto & F({H}^{0}({A}^{* }))=F(\text{Ker}({A}^{0}\mathop{\to }\limits^{d}{A}^{1})).\end{array}\end{eqnarray}

Die Hyperkohomologie ℝ*(F) ist der links-abgeleitete Funktor dieses Funktors F ∘ H⁰. Wegen der Linksexaktheit von F ist F ∘ H⁰ = H⁰ ∘ F^•, und daraus resultieren unter geeigneten technischen Bedingungen an die Kategorie \begin{eqnarray}{\mathscr{A}}\end{eqnarray} und den Funktor F die entsprechenden Cartan-Leray-Spektralfolgen mit den Anfangstermen \begin{eqnarray}{E}_{1}^{pq}({A}^{* })={R}^{q}F({A}^{p})\end{eqnarray} (zur Zerlegung H⁰ ∘ F^•) und \begin{eqnarray}^{\prime} {E}_{2}^{pq}({A}^{* })={R}^{p}F({H}^{q}({A}^{* }))\end{eqnarray} (zur Zerlegung F ∘ H⁰).

Erstere heißt auch Hodge-Spektralfolge (in Analogie zur Hodge-Filtration) auf der de Rham- Kohomologie. Wenn H^q(A*) = 0 für q > 0 ist, heißt A* eine Auflösung von B = H⁰(A*), und die zweite Spektralfolge liefert dann einen Isomorphismus \begin{eqnarray}{R}^{* }F(B)={{\mathbb{R}}}^{* }F({A}^{* }).\end{eqnarray}

Für allgemeinere Komplexe ist der Formalismus derivierter Kategorien und Funktoren der angemessene Rahmen.