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Lexikon der Mathematik: Ideal

ein Teilmenge eines kommutativen Rings \begin{eqnarray}{\mathscr{R}}\end{eqnarray}, für die gilt:

  1. Für x, y ist x + y.
  2. Für x und beliebiges r ist rx.

Zum Beispiel ist die Menge aller geraden Zahlen ein Ideal in ℤ.

Ist eine Familie (xi )iI von Elementen \begin{eqnarray}{x}_{i}\in {\mathcal R} \end{eqnarray} gegeben, so gibt ein kleinstes Ideal \begin{eqnarray}{\mathscr{X}}\subset {\mathcal R} \end{eqnarray}, das alle xi enthält; man nennt dies das von der Familie (xi) erzeugte Ideal und schreibt \begin{eqnarray}\chi =\langle {x}_{i}:i\in I\rangle.\end{eqnarray}

Die Menge \begin{eqnarray}{\mathscr{X}}\end{eqnarray} besteht aus denjenigen Elementen von \begin{eqnarray} {\mathcal R} \end{eqnarray}, die sich als endliche Linearkombinationen aus den xi mit Koeffizienten aus \begin{eqnarray} {\mathcal R} \end{eqnarray} darstellen lassen.

Ein Ideal \begin{eqnarray}{\mathscr{X}}\end{eqnarray} heißt Hauptideal, wenn es von einem einzigen Element \begin{eqnarray}x\in {\mathcal R} \end{eqnarray} erzeugt werden kann, wenn es also ein \begin{eqnarray}x\in {\mathcal R} \end{eqnarray} mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\chi =\langle x\rangle =x{\mathscr{R}}\end{eqnarray} gibt. Ein Hauptidealring ist ein Ring mit der Eigenschaft, daß jedes seiner Ideale ein Hauptideal ist. Z. B. ist der Ring ℤ der ganzen Zahlen ein Hauptidealring: Zu jedem Ideal \begin{eqnarray} {\mathcal I} \subset {\mathbb{Z}}\end{eqnarray} gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl a ≥ 0 derart, daß \begin{eqnarray} {\mathcal I} =\langle a\rangle \end{eqnarray}. Damit hat man eine eineindeutige Beziehung zwischen den natürlichen Zahlen (einschließlich der Null) und den Idealen in ℤ: Man identifiert eine natürliche Zahl n mit der Menge aller ihrer ganzzahligen Vielfachen, eben mit dem Ideal ⟨n⟩ = nℤ.

Die Motivation für den Begriff „Ideal“ bildet nun der Wunsch, das Bild einer idealen Zahl λ eines algebraischen Zahlkörpers K in dessen Ganzheitsring \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{K}\end{eqnarray} zu finden: Dieses Bild ist gerade das Ideal in \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{K}\end{eqnarray}, das aus denjenigen ganzzahligen Vielfachen von X besteht, die in \begin{eqnarray}{{\mathscr{O}}}_{K}\end{eqnarray} liegen.

Der Begriff „Ideal“ hat sich auch außerhalb der algebraischen Zahlentheorie als sehr fruchtbar erwiesen, beispielsweise werden Ideale auch in allgemeinen (auch nicht kommutativen) Ringen, etwa in Funktionenringen oder Operatoralgebren, studiert.

Ist der Ring nicht kommutativ, hängt die Definition davon ab, von welcher Seite man das Ringelement heranmultipliziert. Wenn man nur fordert raI, erhält man linksseitige Ideale, analog rechtsseitige Ideale, falls man arI fordert. Ideale, die beide Eigenschaften haben, heißen zweiseitige Ideale.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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