Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: ideale Zahlen

ein von Kummer benutzter Begriff zur Bezeichnung gewisser ganzalgebraischer Zahlen, die als größter gemeinsamer Teiler von Zahlen aus einem algebraischen Zahlkörper K auftreten, aber nicht in K liegen.

Betrachtet man z. B. den imaginär-quadratischen Zahlkörper \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{-5})\), so besitzt etwa die Zahl 21 zwei verschiedene Zerlegungen im Ganzheitsring \({{\mathscr{O}}}_{K}\) von K: \begin{eqnarray}(1+2\sqrt{-5})\cdot (1-2\sqrt{-5})=3\cdot 7=21.\end{eqnarray}

Man kann nun zeigen, daß die beiden ganzalgebraischen Zahlen \begin{eqnarray}\alpha =1+2\sqrt{-5},\quad \beta =3,\end{eqnarray} in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) nicht weiter zerlegbar sind. D.h., die eindeutige Primfaktorenzerlegung ist in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) verletzt. Versucht man, dies tiefer zu verstehen, so stellt man fest, daß wegen den Zerlegungen \begin{array}{l}{\alpha }^{2}=-19+4\sqrt{-5}=(2+\sqrt{-5})(-2+3\sqrt{-5}),\\ {\beta }^{2}=9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})\end{array} ein gemeinsamer Teiler von α und β durch die Zahl \begin{eqnarray}\lambda =\sqrt{2+\sqrt{-5}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{i}{2}\sqrt{2}\end{eqnarray} gegeben ist (die letzte Gleichung entsteht dadurch, daß man mit i die imaginäre Einheit bezeichnet und jeweils für \(\sqrt{\cdot }\) die in der oberen Halbebene gelegene Wurzel einsetzt, also z. B. \(\sqrt{-5}=i\sqrt{5}\)). Es gilt nun λK; wegen der Gleichung \begin{eqnarray}{\lambda }^{4}-4{\lambda }^{2}+9=0\end{eqnarray} ist λ jedoch ganzalgebraisch. Man kann weiter zeigen, daß λ jede ganzalgebraische Zahl teilt, die von α oder β geteilt wird, und daß andererseits jede ganzalgebraische Zahl, die sowohl α als auch β teilt, auch ein Teiler von λ ist. In diesem Sinne entsteht λ als größter gemeinsamen Teiler von Zahlen aus \({{\mathscr{O}}}_{K}\), liegt aber selbst nicht in \({{\mathscr{O}}}_{K}\).

Nach Kummer ist also dieses λ eine ideale Zahl des Ganzheitsrings \({{\mathscr{O}}}_{K}\) (oder des Zahlkörpers K). Der Wunsch, ideale Zahlen allein durch Operationen in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) ohne Rückgriff auf andere ganzalgebraische Zahlen zu charakterisieren, führte Dedekind auf den Begriff des Ideals eines (zunächst kommutativen) Rings.

Schreiben Sie uns!

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.