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Lexikon der Mathematik: ideale Zahlen

ein von Kummer benutzter Begriff zur Bezeichnung gewisser ganzalgebraischer Zahlen, die als größter gemeinsamer Teiler von Zahlen aus einem algebraischen Zahlkörper K auftreten, aber nicht in K liegen.

Betrachtet man z. B. den imaginär-quadratischen Zahlkörper \(K={\mathbb{Q}}(\sqrt{-5})\), so besitzt etwa die Zahl 21 zwei verschiedene Zerlegungen im Ganzheitsring \({{\mathscr{O}}}_{K}\) von K: \begin{eqnarray}(1+2\sqrt{-5})\cdot (1-2\sqrt{-5})=3\cdot 7=21.\end{eqnarray}

Man kann nun zeigen, daß die beiden ganzalgebraischen Zahlen \begin{eqnarray}\alpha =1+2\sqrt{-5},\quad \beta =3,\end{eqnarray} in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) nicht weiter zerlegbar sind. D.h., die eindeutige Primfaktorenzerlegung ist in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) verletzt. Versucht man, dies tiefer zu verstehen, so stellt man fest, daß wegen den Zerlegungen \begin{array}{l}{\alpha }^{2}=-19+4\sqrt{-5}=(2+\sqrt{-5})(-2+3\sqrt{-5}),\\ {\beta }^{2}=9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})\end{array} ein gemeinsamer Teiler von α und β durch die Zahl \begin{eqnarray}\lambda =\sqrt{2+\sqrt{-5}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{i}{2}\sqrt{2}\end{eqnarray} gegeben ist (die letzte Gleichung entsteht dadurch, daß man mit i die imaginäre Einheit bezeichnet und jeweils für \(\sqrt{\cdot }\) die in der oberen Halbebene gelegene Wurzel einsetzt, also z. B. \(\sqrt{-5}=i\sqrt{5}\)). Es gilt nun λK; wegen der Gleichung \begin{eqnarray}{\lambda }^{4}-4{\lambda }^{2}+9=0\end{eqnarray} ist λ jedoch ganzalgebraisch. Man kann weiter zeigen, daß λ jede ganzalgebraische Zahl teilt, die von α oder β geteilt wird, und daß andererseits jede ganzalgebraische Zahl, die sowohl α als auch β teilt, auch ein Teiler von λ ist. In diesem Sinne entsteht λ als größter gemeinsamen Teiler von Zahlen aus \({{\mathscr{O}}}_{K}\), liegt aber selbst nicht in \({{\mathscr{O}}}_{K}\).

Nach Kummer ist also dieses λ eine ideale Zahl des Ganzheitsrings \({{\mathscr{O}}}_{K}\) (oder des Zahlkörpers K). Der Wunsch, ideale Zahlen allein durch Operationen in \({{\mathscr{O}}}_{K}\) ohne Rückgriff auf andere ganzalgebraische Zahlen zu charakterisieren, führte Dedekind auf den Begriff des Ideals eines (zunächst kommutativen) Rings.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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