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Lexikon der Mathematik: Impulsabbildung

eine C-Abbildung J von einer symplektischen Mannigfaltigkeit M in den Dualraum \({\mathfrak{g}}^* \) einer endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra \({\mathfrak{g}}\), die folgenden Bedingungen genügt:

  1. Es existiert eine Lie-Gruppe G mit Lie-algebra \({\mathfrak{g}}\), die auf M symplektisch operiert.
  2. Für jedes Element ξ von \({\mathfrak{g}}\) ist das Hamilton-Feld der reellwertigen Funktion ⟨J, ξ⟩ identisch mit dem Fundamentalvektorfeld mξM(m) ≔ (d/dt)(exp()m)|t=0 der G-Wirkung auf M.
  3. J ist äquivariant, d.h. J(gm) = Ad*(g)(J(m)) für alle gG und mM, wobei Ad* die koadjungierte Darstellung von G bezeichnet.

Impulsabbildungen verallgemeinern die aus der Mechanik bekannten Begriffe des Impulses und des Drehimpulses und bilden eine wichtige Grundlage für die Konstruktion reduzierter Phasenräume. Im wichtigen Spezialfall des Kotangentialbündels T*Q einer Mannigfaltigkeit Q und des Kotangential-lifts einer Gruppenwirkung von G auf Q gibt es eine kanonische Impulsabbildung (J, ξ)(α) ≔ αQ(q)) für alle qQ und α im Kotangentialraum an q.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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