Lexikon der Mathematik: Index einer Untergruppe
Kennzahl einer Untergruppa
Seien (G, ·) eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Ist G endlich, so ist der Index I(G, H) von H in G definiert durch
Dabei bezeichnet |H| die Anzahl der Elemente der Gruppe H.
Es gilt: Der Index von H in G ist eine natürliche Zahl, und zwar ist er gleich der Anzahl der Linksnebenklassen von H in G. Eine Linksnebenklasse ist eine Menge der Art gH = {g · h | h ∈ H}.
Der Indexbegriff läßt sich jedoch auch dann sinnvoll definieren, wenn sowohl G als auch H unendlich viele Elemente enthalten. Dann ist zwar der Quotient |G| / |H| nicht mehr definiert, aber es kommt vor, daß es trotzdem nur endlich viele Linksnebenklassen von H in G gibt. In solchen Fällen wird I(G, H) als diese Anzahl definiert.
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