Erzeugung einer Metrik durch eine abzählbare Familie von Halbnormen.

Es sei V ein separierter lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Dann gibt es genau dann eine Metrik, deren Topologie mit der auf V gegebenen Topologie übereinstimmt, wenn die Topologie auf V von einer abzählbaren Familie von Halbnormen auf V induziert wird.

Ist {p_n|n ∈ ℕ} eine solche abzählbare Familie von Halbnormen, so kann man sogar mit \begin{eqnarray}d(x,y)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}\frac{{p}_{n}(x-y)}{1+{p}_{n}(x-y)}\end{eqnarray} eine translationsinvariante Metrik d angeben, die die Vektorraumtopolopgie auf V induziert. Man sagt, daß die Familie von Halbnormen die Metrik d induziert.

Genau dann existiert eine durch eine Familie von Halbnormen induzierte Metrik, deren Topologie mit der Vektorraumtopologie von V übereinstimmt, wenn V eine abzählbare Nullumgebungsbasis besitzt.