Lexikon der Mathematik: infinitäre Logik
auch Logik der infinitären Sprachen genannt.
Eine infinitäre Sprache Lα, β ist eine Erweiterung der elementaren Sprache L, wobei α, β unendliche <?PageNum _486Kardinalzahlen sind, Lα, β die gleichen Grundzeichen wie L enthält, jedoch ist die Anzahl der in Lα, β vorkommenden Individuenvariablen gleich max{α, β}.
Die Regeln der Ausdrucksbildung werden wie folgt erweitert:
- Alle Ausdrücke aus L sind auch Ausdrücke in Lα, β.
- Ist I eine Indexmenge mit einer Mächtigkeit |I| < α, und ist {ϕv : v ∈ I} eine Menge von Ausdrücken in Lα, β, dann sind auch \(\begin{eqnarray}{\wedge }_{v\in I}{\varphi }_{v}\end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\vee }_{v\in I}{\varphi }_{v}\end{eqnarray}\) Ausdrücke. (Nicht nur endliche Konjunktionen bzw. Alternativen sind zugelassen, sondern auch solche mit einer Mächtigkeit < α.)
- Ist J eine Indexmenge mit |J| < β, und ist ϕ ein Ausdruck in Lα, β, in dem die Variablen {xv : v ∈ J} vorkommen, aber nicht quantifiziert auftreten, dann sind auch \(\begin{eqnarray}{\forall }_{v\in J}{x}_{v}\varphi \end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\exists }_{v\in J}{x}_{v}\varphi \end{eqnarray}\) Ausdrücke. (Quantifizierungen über Mengen von Variablen mit einer Mächtigkeit < β sind zugelassen.)
- Keine weiteren Zeichenreihen sind Ausdrücke. Für α = β = ω (ω = Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen) erhält man L als Spezialfall: L = Lω, ω.
Diese infinitären Sprachen besitzen eine stärkere Ausdrucksfähigkeit als elementare Sprachen. Dadurch lassen sich weitere Eigenschaften von algebraischen Strukturen beschreiben, die in L nicht ausdrückbar sind (z. B. endlich bzw. unendlich zu sein oder als Struktur eine archimedische bzw. nichtarchimedische Ordnung zu besitzen). Für die erweiterten Sprachen Lα, β gelten aber grundlegende Sätze der klassischen Logik nicht mehr, falls max{α, β} > ω, insbesondere gilt der Kompaktheitssatz der Modelltheorie nicht. Damit stehen wichtige Hilfsmittel zur Untersuchung algebraischer Strukturen nicht zur Verfügung, wodurch die Bedeutung dieser Logiken begrenzt bleibt.
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