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Lexikon der Mathematik: Inhalt

eine auf einem Ring definierte Abbildung, die additiv und nicht-negativ ist.

Es sei \(\begin{eqnarray}\Re \subseteq {\mathfrak{P}}\text{(}M\text{)}\end{eqnarray}\) ein Ring auf einer Menge M, das heißt ein Mengensystem mit der Eigenschaft, daß aus \(\begin{eqnarray}{M}_{1}, {M}_{2}\in \Re \end{eqnarray}\) stets auch \(\begin{eqnarray}{M}_{1}\cup {M}_{2}\in \Re \end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{M}_{1}\backslash {M}_{2}\in \Re \end{eqnarray}\) folgt. Dann heißt eine Abbildung \(\begin{eqnarray}\mu :\Re \to {\mathbb{R}}\cup \{\infty \}\end{eqnarray}\) ein Inhalt, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:

  • μ(A) ≥ 0 für alle \(\begin{eqnarray}A\in \Re \end{eqnarray}\);
  • μ(∅) = 0;
  • μ(A1 ∪…∪An) = μ(A1) +…+ μ(An) für paarweise disjunkte Mengen \(\begin{eqnarray}{A}_{1},\ldots, {A}_{n}\in \Re \end{eqnarray}\).
  • Sind \(\begin{eqnarray}{A}_{1},\ldots, {A}_{n}\in \Re \end{eqnarray}\), so gilt stets \begin{eqnarray}\mu ({A}_{1}\cup \ldots \cup {A}_{n})\le \mu ({A}_{1})+\cdots +\mu ({A}_{n}).\end{eqnarray}

    Sind weiterhin abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen \(\begin{eqnarray}{A}_{v}\in \Re \end{eqnarray}\)Av ∈ ℜ so gegeben, daß \(\begin{eqnarray}{\cup }_{v=1}^{\infty }{A}_{v}\in \Re \end{eqnarray}\) ist, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }\mu ({A}_{v})\le \mu \left(\displaystyle \underset{v=1}{\overset{\infty }{\cup }}{A}_{v}\right).\end{eqnarray}

    Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Jordan-meßbare Menge.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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