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Lexikon der Mathematik: innere Abbildung

eine in einem GebietG ⊂ ℂ holomorphe Funktion mit f(G) ⊂ G. Die Menge aller inneren Abbildungen von G wird mit Hol G bezeichnet und ist bezüglich der Komposition von Abbildungen eine Halbgruppe. Sie enthält die Automorphismengruppe des Gebietes G.

Für konvergente Folgen innerer Abbildungen gilt folgender Satz.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und (fn) bzw. (gn) Folgen von in G holomorphen Funktionen, die in Gkompakt konvergent gegen f bzw. g sind. Dann gelten folgende Aussagen:

  1. Ist fn ∈ Hol G für alle n ∈ ℕ und f nicht konstant, so ist f ∈ Hol G.
  2. Ist fn ∈ Hol G für alle n ∈ ℕ und f ∈ Hol G, so ist (gnfn) kompakt konvergent gegen g ∘ f.
  3. Ist fn ∈ Aut G für alle n ∈ ℕ und f ∈ Aut G, so ist \(\begin{eqnarray}({f}_{n}^{-1})\end{eqnarray}\)kompakt konvergent gegen f−1 ∈ Aut G.
  4. Ist G beschränkt und fn ∈ Aut G für alle n ∈ ℕ, so ist entweder f ∈ Aut G, oder f ist konstant und f(G) ⊂ ∂G.
  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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