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Lexikon der Mathematik: innere Geometrie

in der Flächentheorie die Gesamtheit aller geometrischen Begriffe, Größen und Beziehungen, die sich allein aus der ersten Gaußschen Fundamentalform ableiten lassen.

Dazu gehören u. a. der innere Abstand, die Winkel- und die Flächeninhaltsberechnung. Der innere Abstand zweier Punkte wird wie der natürliche Abstand in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit als unterer Limes der Längen aller Verbindungskurven definiert.

Zum Berechnen der Inhalte von Teilstücken der Fläche dient die durch die erste Gaußsche Fundamentalform bestimmte Flächeninhaltsform \begin{eqnarray}\sqrt{EG-{F}^{2}}dxdy\end{eqnarray} auch infinitesimaler Flächeninhalt genannt. Ihr entspricht in allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Volumenform.

Die Gaußsche Krümmung einer Fläche ist nach dem theorema egregium ebenfalls eine Größe der inneren Geometrie.

Nicht zur inneren Geometrie gehören z. B. die zweite Gaußsche Fundamentalform und die mittlere Krümmung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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