spezielle Mengenfunktion.

Es sei Ω eine Menge und \(\begin{eqnarray}{\mathcal{P}}({\rm{\Omega }})\end{eqnarray}\) die Menge aller Untermengen von Ω. Eine Mengenfunktion \(\begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}:{\mathcal{P}}({\rm{\Omega }})\to {\bar{{\mathbb{R}}}}_{+}\end{eqnarray}\) heißt inneres Maß, wenn gilt:

1. \(\begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}(\varnothing)=0\end{eqnarray}\),
2. mit A ⊆ B ⊆ Ω ist \(\begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}(A)\le \mathop{\mu }\limits_{\_}(B)\end{eqnarray}\) (Isotonie),
3. für jede disjunkte Folge \(\begin{eqnarray}({A}_{n}|n\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal{P}}({\rm{\Omega }})\end{eqnarray}\) gilt \(\begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}(\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n})\ge \displaystyle \sum _{n\in {\mathbb{N}}}\mathop{\mu }\limits_{\_}({A}_{n})\end{eqnarray}\) (Superadditivität).

Ist μ ein Maß auf einer Teilmenge \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M}}\subseteq {\mathcal{P}}({\rm{\Omega }})\end{eqnarray}\) mit \(\begin{eqnarray}\varnothing \in {\mathcal M} \end{eqnarray}\), so ist \(\begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}\end{eqnarray}\), definiert durch \begin{eqnarray}\mathop{\mu }\limits_{\_}(A):=\text{sup}\{\mu (M)|M\subseteq A\}\,\forall A\in {\mathcal{P}}({\rm{\Omega }}),\end{eqnarray} ein inneres Maß auf \(\begin{eqnarray}{\mathcal{P}}({\rm{\Omega }})\end{eqnarray}\).