Eigenschaft einer Funktion.

Integrabilität einer in einer offenen Menge D ⊆ ℂ stetigen Funktion f : D → ℂ bedeutet beispielsweise, daß f eine Stammfunktion F in D besitzt, d. h. F ist eine in D holomorphe Funktion mit F′(z) = f(z) für alle z ∈ D. In diesem Fall nennt man f integrabel in D.

Es gilt das folgende Integrabilitätskriterium.

Es sei D ⊆ ℂ eine offene Menge und f : D → ℂ eine in D stetige Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es ist f integrabel in D.
2. Für jeden in D rektifizierbaren, geschlossenen Weg γ gilt \(\mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz=0\).

Ist f integrabel in D, so ist f holomorph in D. Jedoch ist nicht jede in D holomorphe Funktion integrabel in D. Zum Beispiel ist \(f(z)=\frac{1}{z}\) holomorph in D = ℂ\{0}, aber nicht integrabel in D. Ist D = G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so ist jede in G holomorphe Funktion integrabel in G.