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Lexikon der Mathematik: integrables Hamiltonsches System

zur Verdeutlichung auch vollständig integrables Hamiltonsches System genannt, ein Hamiltonsches System auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit M der Dimension 2n, für das es n funktional unabhängige Integrale der Bewegung F1, …, Fn gibt, die untereinander alle bzgl. der Poisson-Klammer kom- mutieren.

Für gegebene reelle Zahlen a1, …, an ist dann jede Niveaufläche \begin{eqnarray}\{m\in M|{F}_{1}(m)={a}_{1},\mathrm{...},{F}_{n}(m)={a}_{n}\}\end{eqnarray} invariant unter den Flüssen des Systems und der Hamilton-Felder der Integrale der Bewegung. In der Nähe jeder regulären Niveaufläche lassen sich die n Integrale lokal zu Darboux-Koordinaten (Q1, …, Qn,F1, …, Fn) ergänzen, in denen die Dynamik des Hamilton-Feldes die einfache Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{d{Q}_{i}}{dt}=\frac{\partial H}{\partial {F}_{i}}(F), & \frac{d{F}_{i}}{dt}=0\end{array}\end{eqnarray} annimmt.

Fast alle Hamiltonschen Systeme sind nicht inte- grabel. Trotzdem bilden bestimmte integrable Systeme wie das Kepler-System in der Himmelsmechanik oder der Harmonische Oszillator eine wichtige Grundlage für Näherungen (Kolmogo- row-Arnold-Moser, Satz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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