Maßzahlen holomorpher Funktionen.

Die Integral-Mittel einer in der offenen Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}\) holomorphen Funktion f sind definiert durch \begin{eqnarray}{I}_{p}(r,f):=\frac{1}{2\pi }\mathop{\mathop{\int }\limits^{2\pi }}\limits_{0}{|f(r{e}^{it})|}^{p}dt.\end{eqnarray} Dabei ist p ∈ ℝ und 0 < r < 1. Im Fall p < 0 kann es vorkommen, daß das Integral ein uneigentliches ist und nicht existiert.

Integral-Mittel spielen eine wichtige Rolle bei der Definition des Hardy-Raums H^p für p > 0 und in der Theorie der in \({\mathbb{E}}\) schlichten Funktionen.

Für solche Funktionen wird das Wachstum von f oder f′ für |z| → 1 häufig mit Hilfe der IntegralMittel gemessen. Es gilt z. B. folgender Satz.

Es sei f eine schlichte Funktion in \({\mathbb{E}}\), 0 ≤ α ≤ 2, und mit einer Konstanten C > 0 gelte \begin{eqnarray}|f(z)|\le \frac{C}{{(1-|z|)}^{\alpha }},z\in {\mathbb{E}}\end{eqnarray}

Dann existiert für \(p\gt \frac{1}{\alpha }\)eine Konstante M = M_p > 0 derart, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{I}_{p}(r,f)\le \frac{M}{{(1-r)}^{\alpha p-1}}, & 0\lt r\lt 1.\end{array}\end{eqnarray}Weiter gilt f ∈ H^P für \(0\lt p\lt \frac{1}{\alpha }\).

Da (1) mit α = 2 für jede schlichte Funktion in \({\mathbb{E}}\) gilt, erhält man \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{I}_{p}(r,f)\le \frac{M}{{(1-r)}^{2p-1}}, & 0\lt r\lt 1\end{array}\end{eqnarray} für \(p\gt \frac{1}{2}\) und f ∈ H^P für \(0\lt p\lt \frac{1}{2}\).

Für eine schlichte Funktion f in 𝔼 und p ∈ ℝ sei \begin{eqnarray}{\beta }_{f}(p)=\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{r\to 1}\frac{\mathrm{log}{I}_{p}(r,{f}^{^{\prime} })}{\mathrm{log}\frac{1}{1-r}}.\end{eqnarray} Es ist also β_f(p) die kleinste Zahl derart, daß zu jedem ε > 0 eine Konstante M > 0 existiert mit \begin{eqnarray}{I}_{p}(r,{f}^{^{\prime} })\le \frac{M}{{(1-r)}^{{\beta }_{f}(p)+\varepsilon }}.\end{eqnarray}

Es ist β_f eine stetige und konvexe Funktion von p, und es gilt \begin{eqnarray}{\beta }_{f}(p+q)\le \left\{\begin{array}{ll}{\beta }_{f}(p)+3q, & \text{falls}\,q\gt 0,\\ {\beta }_{f}(p)+|q|, & \text{falls}\,q\lt 0.\end{array}\right.\end{eqnarray} Für die Funktion \begin{eqnarray}f(z)={\left(\frac{1+z}{1-z}\right)}^{\alpha }\end{eqnarray} mit 1 < α ≤ 2 gilt \begin{eqnarray}{\beta }_{f}(p)=\left\{\begin{array}{ll}(\alpha +1)p-1 & \text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}\, p\gt \frac{\text{1}}{\alpha \text{+1}},\\ (\alpha -1)|p|-1 & \text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}\, p\gt -\frac{\text{1}}{\alpha -1},\\ 0 & \text{sonst}\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray} Dieses Beispiel zeigt, daß die Abschätzungen im folgenden Satz bestmöglich sind.

Es sei f eine schlichte Funktion in \({\mathbb{E}}\)und \(p\ge \frac{2}{5}\). Dann ist β_f(p) ≤ 3p − 1.

Ist zusätzlich f sternförmig, ist also f(\({\mathbb{E}}\)) ein Sterngebiet bezüglich f(0), so gilt \begin{eqnarray}{\beta }_{f}(p)\le \left\{\begin{array}{ll}3p-1 & f\ddot{u}r\, p\gt \frac{\text{1}}{\text{3}},\\ |p|-1 & f\ddot{u}r\, p\lt -1,\\ 0 & sonst.\end{array}\right.\end{eqnarray} Für beliebige Werte von p gilt folgendes Ergbnis.

Es sei f eine schlichte Funktion in \({\mathbb{E}}\)und p ∈ ℝ. Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\beta }_{f}(p)\le p-\frac{1}{2}+\sqrt{4{p}^{2}-p+\frac{1}{4}}\\\quad \quad \,\,\,\lt \left\{\begin{array}{ll}3{p}^{2}+7{p}^{3} & f\ddot{u}r\,p\gt 0,\\ 3{p}^{2} & f\ddot{u}r\,p\lt 0,\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}Weiter gilt ß_f(−1) < 0, 601.

Umgekehrt existiert eine schlichte Funktion f in \({\mathbb{E}}\) mit β_f(−1) > 0, 109 und β_f(p) ≥ 0,117p² für hinreichend kleine Werte von |p|.

Die sog. Brennan-Vermutung besagt, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\beta }_{f}(p)\le |p|-1, & p\le -2.\end{array}\end{eqnarray} Sie ist äquivalent zu β_f (−2) ≤ 1. Bekannt ist bisher nur \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\beta }_{f}(p)\lt |p|-0,399, & p\le -1.\end{array}\end{eqnarray}