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Lexikon der Mathematik: Integral-Transformation

Abbildungsvorschrift, die einer (reell- oder komplexwertigen) Funktion f eine neue Funktion F zuordnet durch ein Integral der Form \begin{eqnarray}F(x)=\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{-\infty }K(x,y)f(y)dy\end{eqnarray} mit einer Funktion K, dem sog. Kern der IntegralTransformation, falls das Integral existiert. Für die wichtigsten Integral-Transformationen vergleiche: Fourier-Transformation, Gauß-Trans- formation, Hankel-Transformation, HilbertTransformation, Laplace-Transformation.

Für die Anwendung ist es wichtig, daß diese Abbildungsvorschrift zwischen geeigneten Funktionenräumen bijektiv ist, sodaß eine Umkehrformel existiert. Damit können Probleme nach einer Integral-Transformation leichter gelöst werden, und die Lösung des ursprünglichen Problems ergibt sich durch Anwendung der Umkehrformel. Beispielsweise kann die Laplace-Transformation verwendet werden, um lineare Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen umzuwandeln, wobei einige Rechenregeln (Laplace-Transformation) helfen (siehe auch Integralgleichungsmethode).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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