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Lexikon der Mathematik: μ-Integral

Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals bzgl. des Maßraumes durch Young und Frechet.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) ein Maßraum und \(f:{\rm{\Omega }}\to \bar{{\mathbb{R}}}\) eine meßbare Funktion. Unter der Annahme, daß f nicht-negativ ist, existiert eine isotone Folge (un|n ∈ ℕ) von Elementarfunktionen

\begin{eqnarray}{u}_{n}:=\displaystyle \sum _{i=1}^{n{2}^{n}}{a}_{i}^{n}{1}_{{A}_{i}^{n}}\end{eqnarray}

mit \({a}_{i}^{n}\ge 0\) für alle i und \(({A}_{i}^{n}|i=1,\ldots ,n{2}^{n})\subseteq {\mathcal{A}}\) als disjunkter Zerlegung von Ω so, daß f = supn∈ℕun. Man definiert dann das μ-Integral von f durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \int fd\mu :=\mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}\displaystyle \int {u}_{n}d\mu :=\mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a}_{i}^{n}\mu ({A}_{i}^{n}),\end{eqnarray}

und zeigt, daß ∫fdμ von der speziellen Wahl der Folge (un|n ∈ ℕ) unabhängig ist.

Ist f allgemein meßbar, so existiert eine Zerlegung f = f+f von f in die Differenz zweier nicht-negativer meßbarer Funktionen f+ und f, und man definiert das μ-Integral von f durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \int fd\mu =\displaystyle \int {f}^{+}d\mu -\displaystyle \int {f}^{-}d\mu ,\end{eqnarray}

falls diese Differenz existiert. Man sagt, daß f μ-integrierbare Funktion ist, falls ∫fdμ endlich ist, d. h., falls ∫f+ und ∫f endlich sind. Das μ-integral ist in f monoton und in integrierbarem f linear.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel <i/>μ-Integral
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Beispiel für die Wahl von (un|n ∈ ℕ)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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