Abschätzung des Betrags (bzw. der Norm) eines Integrals nach oben durch eine Funktion des Integrationswegs und des Integranden, etwa beim Kurvenintegral durch das Produkt aus der Kurvenlänge und dem Maximum des Integranden auf dem Träger der Kurve.

Speziell spricht man auch von Integralabschätzung bei einer Abschätzung des Integrals durch eine „Norm” des Integranden, d. h. (unter geeigneten Voraussetzungen) einer Ungleichung der Gestalt \(|\mathop{\int }\limits^{}f(x)dx|\le \Vert f\Vert \) für integrierbare Funktionen f (Integralnorm). Eine solche Abschätzung zeigt, daß das Integral als lineare Funktion des Integranden bzgl. || || stetig ist, und ihre Gültigkeit für „einfache Funktionen” f (z. B. Treppenfunktionen) ist Grundlage der Integralfortsetzung. Die Dreiecksungleichung für Integrale liefert z. B. für −∞ < a < b < ∞ und den Raum \({\mathfrak{E}}\) der reellwertigen Treppenfunktionen auf [a, b] mit dem elementaren Integral i : \({\mathfrak{E}}\) → ℝ \begin{eqnarray}|i(h)|\le i(|h|)=\Vert h{\Vert }_{L}=\Vert h{\Vert }_{R}\le \Vert h{\Vert }_{S}\end{eqnarray} für h ∈ \({\mathfrak{E}}\) mit der (skalierten) Supremumsnorm || ||_S, der Riemann-Norm || ||_R und der Lebesgue- Norm || ||_L. Diese sind für f : [a, b] → ℝ wie folgt definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\Vert f\Vert }_{S} & = & (b-a)\sup \{|f(x)|x\in [a,b]\},\\ \Vert f{\Vert }_{R} & = & \inf \{i(h)|{\mathfrak{E}}\ni h\ge |f|\}\quad (\inf \emptyset =\infty ),\\ \Vert f{\Vert }_{L} & = & \inf \{\mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}i({h}_{n})|{{\mathfrak{E}}}^{+}\ni {h}_{n}\uparrow \ge |f|\}\,\,(\text{d}\text{.h}\text{.0}\le {h}_{1}\le {h}_{2}\le \cdots \le \mathop{\sup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{h}_{n}\ge |f|).\end{array}\end{eqnarray} Integralfortsetzung bzgl. || ||_S führt zum Integral von Regelfunktionen, bzgl. || ||_R zum Riemann-Integral und bzgl. || ||_L zum Lebesgue-Integral, die sich auf ähnliche Weise auch in wesentlich allgemeineren Ausgangssituationen einführen lassen.