Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Integralformel von Gauß-Bonnet

eine Beziehung zwischen der Gesamtkrümmung einer Fläche \( {\mathcal F} \), der geodätischen Krümmung κg ihrer Randkurve \({\mathscr{C}}\), und ihrem Geschlecht g.

Das Geschlecht g einer geschlossenen Fläche \( {\mathcal F} \) läßt sich anschaulich als Anzahl der, Löcher’ von \( {\mathcal F} \) beschreiben. Damit gilt:

Es sei \( {\mathcal F} \)eine reguläre Fläche des3mit einer glatten Randkurve \({\mathscr{C}}\), dO ihr Oberflächenelement (Flächeninhalt) und ds das Bogenelement von \({\mathscr{C}}\). Dann gilt \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{ {\mathcal F} }kdO+\mathop{\oint }\limits_{{\mathscr{C}}}{\kappa }_{g}ds=2\pi.\end{eqnarray}Als Folgerung daraus erhält man für eine geschlossene Fläche von Geschlecht g: \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{ {\mathcal F} }kdO=2\pi (1-g).\end{eqnarray}

Dabei ist \({\mathscr{C}}\) beim Berechnen des Kurvenintegrals so zu durchlaufen, daß die Fläche zur Linken liegt.

Dieses Resultat wurde zuerst im Jahre 1848 von O. Bonnet publiziert. Vermutlich kannte es Gauß aber schon vorher.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos