Gleichung, in der eine zu bestimmende Funktion in einem Integral auftritt. Man unterscheidet lineare Integralgleichungen, bei denen die zu bestimmende Funktion linear auftritt, und nichtlineare.

Integralgleichungen wurden zuerst Beginn des 19. Jahrhunderts (Abel) intensiver untersucht. Entscheidende Fortschritte wurde zum Beginn des 20. Jahrhunderts insbesondere durch Fredholm, Hilbert und E. Schmidt erzielt und führten dabei u. a. zur Entwicklung der Funktionalanalysis.

Am besten untersucht sind lineare Integralgleichungen, die im folgenden betrachtet werden. Seien \(D\subset {{\mathbb{R}}}^{n},k:D\times D\to {\mathbb{R}},f:D\to {\mathbb{R}},\varphi :D\to {\mathbb{R}}\), und A : D → ℝ. Die Integralgleichung \begin{eqnarray}A(x)\varphi (x)-\mathop{\int }\limits_{D}k(x,y)\varphi (y)dy=f(x)\end{eqnarray} heißt

• Integralgleichung erster Art für A(x) = 0 (x ∈ D)
• Integralgleichung zweiter Art für A(x) = const. (= 1) (x ∈ D), bzw.
• Integralgleichung dritter Art, falls keiner der beiden ersten Fälle zutrifft.

Ist die rechte Seite f(x) konstant gleich Null, spricht man von einer homogenen, andernfalls von einer inhomogenen Integralgleichung. Die Funktion k wird dabei als Kern der Integralgleichung (Integralkern) bezeichnet. Man kann (1) auch mit Hilfe des Integraloperators \(K:{C}^{0}(D)\to {C}^{0}(D)\), \begin{eqnarray}(K\varphi )(x):=\mathop{\int }\limits_{D}k(x,y)\varphi (y)dy\end{eqnarray} als \begin{eqnarray}A(x)\varphi (x)-(K\varphi )(x)=f(x)\end{eqnarray} schreiben. Oftmals wird dabei ein Parameter λ eingeführt, und die Integralgleichung A(x)φ(x) − λ(Kφ)(x) = f(x) betrachtet.

Man unterscheidet weiter je nach der Form des Integralkerns verschiedene Typen: Ist der Integralkern reell und symmetrisch, d.h., gilt k(x, y) = k(y, x), so spricht man von einer Integralgleichung mit symmetrischem Kern. Sie wurden zuerst von Hilbert und anschließend von E. Schmidt untersucht, nach denen ihre Theorie Hilbert-SchmidtTheorie heißt. Wird durch den Integralkern eine Faltung (Konvolution) definiert, d.h. gilt k(x,y) = g(x − y) mit einer Funktion g, so spricht man von einer Integralgleichung vom Konvolutionstyp. Ein Spezialfall hiervon sind Integralgleichungen vom Wiener-Hopf-Typ, bei denen der Integrationsbereich die positive Halbachse ist. Weitere wichtige Typen sind die Fredholmsche Integralgleichung und die Volterra-Integralgleichung.