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Lexikon der Mathematik: Integralkriterium

genauer Reihen-Integral-Ver-gleichskriterium, die Aussage \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{K}f(x)\,dx\,konvergent\iff \mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=K}f(n)\,konvergent\end{eqnarray} unter der Voraussetzung, daß \(f:[K,\infty )\to [0,\infty )\) antiton ist (für ein K ∈ ℕ).

Sie ergibt sich unmittelbar aus der Abschätzung \begin{eqnarray}f(n)\ge \mathop{\mathop{\int }\limits^{n+1}}\limits_{n}f(x)dx\ge f(n+1)\quad ({\mathbb{N}}\ni n\ge K)\end{eqnarray} durch (endliche) Summation und Grenzwertbildung.

Hieraus liest man beispielsweise ganz einfach ab: Die Reihe \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=1}\frac{1}{{n}^{\alpha }}\end{eqnarray} ist konvergent für α > 1 und divergent für α ≤ 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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