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Lexikon der Mathematik: Integralrechnung

Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Integration von Funktionen beschäftigt.

Grundproblem der Integralrechnung ist die Inhaltsbestimmung nicht notwendig geradlinig be- randeter Figuren, worunter sowohl die Bestimmung des Flächeninhalts ebener Figuren als auch des Volumens von Körpern fällt. Schon die alten Griechen berechneten viele solcher Flächen und Volumina mit der Exhaustionsmethode durch „Ausschöpfen”, doch entscheidend vorangebracht wurde die Integralrechnung – wie die Analysis überhaupt – erst durch Isaac Newton sowie Gottfried Wilhelm Leibniz, auf den das Zeichnen für das Integral, angelehnt an „S” wie in „Summe”, zurückgeht.

Ob eine gegebene Funktion integrierbar ist, hängt vom zugrundegelegten Integralbegriff ab. Für einen Einstieg in die Analysis wird meist das leicht verständliche Riemann-Integral benutzt, doch für viele Anwendungen benötigt man das umfassendere Lebesgue-Integral, für das leistungsfähige Konvergenzsätze über die Vertauschbarkeit der Integration mit anderen Grenzprozessen gelten, wie etwa der Satz von Lebesgue. Gemäß dem schon von Leibniz gefundenen Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung entspricht die Integration stetiger Funktionen dem Aufsuchen von Stammfunktionen. Die Integration ist für diese Funktionenklasse also gewissermaßen die Umkehrung der Differentiation und die Integralrechnung das Gegenstück zur Differentialrechnung. Kurvenintegrale bzw. Wegintegrale werden letztlich meist durch Zurückführung auf gewöhnliche Integrale über reelle Intervalle ausgerechnet, also ebenfalls über Stammfunktionen ausgewertet. Auch Integrale über mehrdimensionale Integrationsbereiche, wie sie bei Oberflächenintegralen und Volumenintegralen anfallen, berechnet man in der Regel durch Zurückführung auf Integrale über eindimensionale Integrationsbereiche mittels iterierter Integration. Für mehrdimensionale Integrale hat man ferner den Integralsatz von Gauß und den Integralsatz von Stokes.

Die Integrationstheorie befaßt sich mit Verallgemeinerungen der Integralbegriffe der reellen Analysis.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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