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Lexikon der Mathematik: Integration rationaler Funktionen

Verfahren, welches es prinzipiell gestattet, zu jeder rationalen Funktion systematisch – also ohne besondere Kunstgriffe – eine Stammfunktion zu finden.

Es seien P und Q Polynome (Q nicht konstant 0) und \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)} & (x\in {D}_{R}:=\{x\in {\mathbb{R}}|Q(x)\ne 0\})\end{array}.\end{eqnarray} Bekannt ist: Es existieren Polynome P0, P1, Q1 mit ord P1 < ord Q1 derart, daß \begin{eqnarray}R(x)={P}_{0}(x)+\frac{{P}_{1}(x)}{{Q}_{1}(x)}.\end{eqnarray} Da für jedes Polynom P0 sofort eine Stammfunktion angegeben werden kann, kann ohne Einschränkung angenommen werden, daß schon ord P < ord Q gilt („echter (Polynom-)Bruch”). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra weiß man für den Nenner Q:

Es sei Q (reelles) Polynom mit grad Q =: n ≥ 1 und Leitkoeffizient 1.

Dann läßt sich Q(x) darstellen als Produkt \begin{eqnarray}{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}\cdots {(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}\times {[{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}]}^{{m}_{1}}\cdots {[{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}]}^{{m}_{s}}\end{eqnarray}mit

\(r,s\in {{\mathbb{N}}}_{0},{k}_{\varrho },{m}_{\sigma }\in {\mathbb{N}},{\alpha }_{\varrho },{\beta }_{\sigma },{\gamma }_{\sigma }\in {\mathbb{R}},{\gamma }_{\sigma }\gt 0,{\alpha }_{\varrho }\)und (βσ, γσ) jeweils paarweise verschieden und \begin{eqnarray}{k}_{1}+\cdots +{k}_{r}+2({m}_{1}+\cdots +{m}_{s})=n.\end{eqnarray}

Damit gewinnt man die folgende Darstellung für R(x): \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\left[\frac{{a}_{1,1}}{x-{\alpha }_{1}}+\cdots +\frac{{a}_{1},{k}_{1}}{{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}}\right]+\cdots +\left[\frac{{a}_{r,1}}{x-{\alpha }_{r}}+\cdots +\frac{{a}_{r,kr}}{{(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}}\right]\\ \quad \,\,+\left[\frac{2{b}_{1,1}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,1}}{{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{1,{m}_{1}}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,{m}_{1}}}{{({(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2})}^{{m}_{1}}}\right]\\ \quad +\cdots +\\\quad +\left[\frac{2{b}_{s,1}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,1}}{{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{s{m}_{s}}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,{m}_{s}}}{{({(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2})}^{{m}_{s}}}\right]\end{array}\end{eqnarray}mit geeigneten reellen Zahlen \({a}_{\varrho, k}\)und cσ,μ.

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung (von R). Die Berechnung einer Stammfunktion von R ist damit reduziert auf die Berechnung von Stammfunktionen zu Funktionen des Typs \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\frac{1}{{(x-\alpha )}^{k}}(a\in {\mathbb{R}},k\in {\mathbb{N}}),\text{und}\\ \frac{2b(x-\beta )+c}{{({(x-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{m}}(m\in {\mathbb{N}};b,c,\beta \in {\mathbb{R}},\gamma \gt 0)\end{array}\end{eqnarray} ( Integration von Partialbrüchen).

Den eleganteren „komplexen Weg” findet man beispielsweise ausgeführt in [1].

[1] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1996.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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