Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Integration von Partialbrüchen

Gewinnung von Stammfunktionen zu Funktionen, die bei der Reduktion rationaler Funktionen auftreten (Integration rationaler Funktionen), d. h. Funktionen folgenden Typs: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\frac{1}{{(x-\alpha )}^{k}}\quad (\alpha \in {\mathbb{R}},k\in {\mathbb{N}}),\\ \frac{2b(x-\beta )+c}{{({(x-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{m}}\quad (m\in {\mathbb{N}};b,c,\beta \in {\mathbb{R}},\gamma \gt 0).\end{array}\end{eqnarray}

Für die erste Funktion hat man eine Stammfunktion durch ln |x − α|, falls k = 1, und \begin{eqnarray}\frac{1}{1-k}\frac{1}{{(x-\alpha )}^{k-1}}\end{eqnarray} sonst.

Der zweite Typ wird umgeformt zu \begin{eqnarray}b\underbrace{\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}\mathop{\mathop{\frac{2(t-\beta )}{{({(t-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{m}}dt}}\limits_{}}\limits_{=:A}+c\underbrace{\mathop{\mathop{\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}{({(t-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{-m}dt.}}\limits_{}}\limits_{=:B}\end{eqnarray} Mit \begin{eqnarray}\varphi (t):={(t-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2},\end{eqnarray} also φ′(t) = 2(tβ), erhält man \begin{eqnarray}A=\mathop{\mathop{\int }\limits^{\varphi (x)}}\limits_{}\frac{1}{{s}^{m}}ds,\end{eqnarray} wozu man eine Stammfunktion sofort angeben kann.

Mit φ(t) := (tβ)/γ, also φ′(t) = 1/γ, ergibt sich für den zweiten Anteil: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}B & = & \frac{1}{{\gamma }^{2m}}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}\frac{1}{{({(\frac{t-\beta }{\gamma })}^{2}+1)}^{m}}dt\\ & = & \frac{1}{{\gamma }^{2m-1}}\mathop{\int }\limits^{}\frac{1}{{({s}^{2}+1)}^{m}}ds,\end{array}\end{eqnarray} dieser ist also zurückgeführt auf die Form \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}{(1+{t}^{2})}^{-m}dt.\end{eqnarray} Hier kennt man für m = 1 (mit arctan) eine Stammfunktion. Für den allgemeinen Fall gewinnt man über partielle Integration die Rekursionsformel \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}{(1+{t}^{2})}^{-(m+1)}dt=\frac{1}{2m}x{(1+{x}^{2})}^{-m}+\frac{2m-1}{2m}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}{(1+{t}^{2})}^{-m}dt.\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte