Vorschriften für das Arbeiten mit Integralen.

Dazu zählen – für bestimmtes und unbestimmtes Integral (Stammfunktionen) – zunächst die trivialen Regeln der Linearität und die Additivität bezüglich der Intervallgrenzen:

Für ein Intervall J in ℝ, f, g : J → ℝ stetig und α ∈ ℝ gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}(\alpha f+g)(t)dt=\alpha \mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}f(t)dt+\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}g(t)dt.\end{eqnarray}

In Worten: Man erhält eine Stammfunktion zu αf + g, indem man eine Stammfunktion F zu f und eine Stammfunktion G zu g sucht und dann α F + G bildet. (Der Beweis ist unmittelbar durch die Linearität der Differentiation gegeben.) Entsprechend für das bestimmte Integral:

Für a, b ∈ ℝ mit a < b, über [a, b] integrierbaren reellwertigen Funktionen f und g und a ∈ ℝ gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}(\alpha f+g)(t)dt=\alpha \mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(t)dt+\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}g(t)dt.\end{eqnarray}

Weiterhin gilt:

Für a, b, c ∈ ℝ mit a < b < c ist eine auf [a, c] definierte reellwertige Funktion f genau dann über [a, c] integrierbar, wenn sie über [a, b] und über [b, c] integrierbar ist. Es gilt dann: \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{c}}\limits_{a}f(x)dx=\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx+\mathop{\mathop{\int }\limits^{c}}\limits_{b}f(x)dx\end{eqnarray} Setzt man noch \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{a}}\limits_{a}f(x)dx:=0\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{e}}\limits_{d}f(x)dx=-\mathop{\mathop{\int }\limits^{d}}\limits_{e}f(x)dx\end{eqnarray} für −∞ < e < d < ∞, so gilt (1) für beliebige a, b, c in ℝ.

Neben diesen trivialen Regeln sind vor allem hilfreich die ↗ partielle Integration und die ↗ Substitutionsregeln: Für Intervalle I, J, eine stetige Funktion f : I → ℝ und eine stetig differenzierbare Funktion φ : J → I gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}f(\varphi (t)){\varphi }^{^{\prime} }(t)dt=\mathop{\mathop{\int }\limits^{\varphi (x)}}\limits_{}f(x)ds\end{eqnarray} Dies liest man aus der ↗ Kettenregel einfach ab. Man merkt sich diese Regel in der Form: s := φ(t), \(\frac{ds}{dt}={\varphi }^{^{\prime} }(t)\). „Läuft” t bis x, dann läuft s = φ(t) bis φ(x).

Manchmal ist es günstiger, anders zu substituieren:

In einem Intervall, in dem φ′ konstantes Vorzeichen hat (dazu genügt, daß φ′ dort keine Nullstelle hat), ist φ umkehrbar. Mit der zugehörigen Umkehrfunktion ψ gilt \begin{eqnarray}{\psi }^{^{\prime} }\text{(}\varphi (t))=\frac{1}{{\varphi }^{^{\prime} }(t)},\end{eqnarray} und die o. a. Regel lautet dann (für ψ statt φ sowie s und t vertauscht) : \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}f(\psi (s){\psi }^{^{\prime} }(s)ds=\mathop{\mathop{\int }\limits^{\psi (x)}}\limits_{}f(t)dt.\end{eqnarray} Wertet man dies an der Stelle φ(x) statt x aus, so erhält man \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{\psi (x)}}\limits_{}f(\psi (s){\psi }^{^{\prime} }(s)ds=\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{}f(t)dt.\end{eqnarray}