Abstand zwischen einer gegebenen Funktion f und der sie interpolierenden, also durch Interpolation bestimmten, Funktion p.

Der Interpolationsfehler läßt sich umso besser abschätzen, je glatter die Ausgangsfunktion f ist. Als instruktives Beispiel geben wir hier den folgenden Satz über den Fehler bei der Interpolation einer Funktion durch Polynome in einer reellen Varia- beln an (Interpolationspolynom).

Es sei f ∈ Cⁿ⁺¹[a, b] und p das Polynom n-ten Grades, das f in den n +1 Punkten x₀,…,x_n des Intervalls [a, b] interpoliert.

Dann gilt in jedem Punkt x ∈ [a, b] die Darstellung \begin{eqnarray}f(x)-p(x)=\frac{\Omega (x)}{(n+1)!}\cdot {f}^{(n+1)}(z(x))\end{eqnarray}mit einem von x abhängigen Punkt z(x) und \begin{eqnarray}\Omega (x)=(x-{x}_{0})(x-{x}_{1})\ldots (x-{x}_{n}).\end{eqnarray}

Ähnliche Aussagen gibt es für allgemeinere Situationen, etwa Hermite-Interpolation, Interpolation mit Spline-Funktionen oder auch Funktionen in mehreren Variablen.

Häufig ist man nicht unbedingt an expliziten Darstellungen des Fehlers in jedem Punkt des Intervalls interessiert, sondern an einer betragsmäßigen Abschätzung des Fehlers. In der Situation des Satzes gewinnt man dann die Beziehung \begin{eqnarray}||f(x)-p(x)||\le \frac{{(b-a)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot ||f(n+1)||\end{eqnarray} in der Maximumnorm.

[1] Nürnberger, G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.
[2] Schaback, R.; Werner. H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1992.