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Lexikon der Mathematik: Interpolationstheorie auf Banachräumen

Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Ziel dieser Interpolationstheorie ist es, „zwischen“ zwei Banachräumen X0 und X1 liegende Räume X zu finden, so daß lineare Operatoren, die simultan X0 stetig nach X0 und X1 stetig nach X1 abbilden, auch X stetig nach X abbilden. Die „Zwischen”-Relation ist hier nicht im mengentheoretischen Sinn zu verstehen, da z. B. Lp(ℝd) als Raum „zwischen“ L1(ℝd) und L(ℝd) interpretiert wird.

Der hier verwendete Begriff der Interpolation ist also zu unterscheiden von dem üblicherweise im Sinne von Interpolation von Daten oder Funktionswerten verwendeten.

Seien X0 und X1 Banachräume mit Normen ||.||0 und ||.||1, die stetig in einen Hausdorffschen topologischen Vektorraum E eingebettet sind; man spricht dann von einem verträglichen Paar von Banachräumen. Beispielsweise bilden (L1(ℝd), L(ℝd)) mit der Einbettung in den Distributionenraum \(\begin{eqnarray}{{\mathcal{D}}}{^{\prime} }({{\mathbb{R}}}^{d})\end{eqnarray}\) ein verträgliches Paar. Man betrachtet die Vektorräume X0X1 und \begin{eqnarray}{X}_{0}+{X}_{1}=\{x\in E:\exists {x}_{j}\in {X}_{j}\,\text{mit}\,x={x}_{0}+{x}_{1}\},\end{eqnarray} die mit den Normen \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}||x||{X}_{0}\mathop{\cap }\limits^{}{X}_{1}= & \max \{||x|{|}_{0},||x|{|}_{1}\},\\ ||x||{X}_{0}+{X}_{1}= & \inf \{||{x}_{0}|{|}_{0},||{x}_{1}|{|}_{1}:\\ & x={x}_{0}+{x}_{1},{x}_{j}\in {X}_{j}\}\end{array}\end{eqnarray} zu Banachräumen werden.

Es sei X ein weiterer Banachraum mit stetigen Einbettungen \begin{eqnarray}{X}_{0}\mathop{\cap }\limits^{}{X}_{1}\to X\to {X}_{0}+{X}_{1};\end{eqnarray} solch ein Raum wird Zwischenraum (engl. intermediate space) genannt. Sei ferner T : X0 + X1X0 + X1 eine lineare Abbildung, die X0 stetig in X0 und X1 stetig in X1 überführt; es ist also \begin{eqnarray}\begin{array}{l}||T:{X}_{0}\to {X}_{0}||=:{M}_{0}\lt \infty, \\ ||T:{X}_{1}\to {X}_{1}||=:{M}_{1}\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray} Gilt stets für solch einen Operator T(X) ⊂ X (T ist dann automatisch ein stetiger Operator von X nach X), heißt X ein Interpolationsraum zwischen X0 und X1. Ein Interpolationsraum heißt exakt, wenn \begin{eqnarray}||T:X\to X||\le \max \{{M}_{0},{M}_{1}\}.\end{eqnarray}

Genauso nennt man für verträgliche Paare (X0, X1) und (Y0, Y1) ein Paar von Zwischenräumen X, Y ein Interpolationspaar, wenn \begin{eqnarray}||T:{X}_{0}\to {Y}_{0}||\lt\infty,\,\, ||T:{X}_{1}\to {Y}_{1}||\lt\infty\quad\Rightarrow\quad||T:X\to Y||\lt\infty, \end{eqnarray} und analog zum obigen Fall lautet die Definition eines exakten Interpolationspaars.

Klassische Interpolationssätze sind die Sätze von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz; ein Spezialfall des ersteren ist die Aussage, daß Lp ein exakter Interpolationsraum zwischen L1 und L ist.

Abstrakte Interpolationsmethoden, die diese Sätze verallgemeinern, sind die komplexe Interpolationsmethode und die reelle Interpolationsmethode; diese liefern jeweils eine Skala von exakten Interpolationspaaren.

[1] Bennett, C.; Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Academic Press London/Orlando, 1988.
[2] Bergh, J.; Löfström, J.: Interpolation Spaces. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1976.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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