Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Ziel dieser Interpolationstheorie ist es, „zwischen“ zwei Banachräumen X₀ und X₁ liegende Räume X zu finden, so daß lineare Operatoren, die simultan X₀ stetig nach X₀ und X₁ stetig nach X₁ abbilden, auch X stetig nach X abbilden. Die „Zwischen”-Relation ist hier nicht im mengentheoretischen Sinn zu verstehen, da z. B. L^p(ℝ^d) als Raum „zwischen“ L¹(ℝ^d) und L^∞(ℝ^d) interpretiert wird.

Der hier verwendete Begriff der Interpolation ist also zu unterscheiden von dem üblicherweise im Sinne von Interpolation von Daten oder Funktionswerten verwendeten.

Seien X₀ und X₁ Banachräume mit Normen ||.||₀ und ||.||₁, die stetig in einen Hausdorffschen topologischen Vektorraum E eingebettet sind; man spricht dann von einem verträglichen Paar von Banachräumen. Beispielsweise bilden (L¹(ℝ^d), L^∞(ℝ^d)) mit der Einbettung in den Distributionenraum \(\begin{eqnarray}{{\mathcal{D}}}{^{\prime} }({{\mathbb{R}}}^{d})\end{eqnarray}\) ein verträgliches Paar. Man betrachtet die Vektorräume X₀ ⋂ X₁ und \begin{eqnarray}{X}_{0}+{X}_{1}=\{x\in E:\exists {x}_{j}\in {X}_{j}\,\text{mit}\,x={x}_{0}+{x}_{1}\},\end{eqnarray} die mit den Normen \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}||x||{X}_{0}\mathop{\cap }\limits^{}{X}_{1}= & \max \{||x|{|}_{0},||x|{|}_{1}\},\\ ||x||{X}_{0}+{X}_{1}= & \inf \{||{x}_{0}|{|}_{0},||{x}_{1}|{|}_{1}:\\ & x={x}_{0}+{x}_{1},{x}_{j}\in {X}_{j}\}\end{array}\end{eqnarray} zu Banachräumen werden.

Es sei X ein weiterer Banachraum mit stetigen Einbettungen \begin{eqnarray}{X}_{0}\mathop{\cap }\limits^{}{X}_{1}\to X\to {X}_{0}+{X}_{1};\end{eqnarray} solch ein Raum wird Zwischenraum (engl. intermediate space) genannt. Sei ferner T : X₀ + X₁ → X₀ + X₁ eine lineare Abbildung, die X₀ stetig in X₀ und X₁ stetig in X₁ überführt; es ist also \begin{eqnarray}\begin{array}{l}||T:{X}_{0}\to {X}_{0}||=:{M}_{0}\lt \infty, \\ ||T:{X}_{1}\to {X}_{1}||=:{M}_{1}\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray} Gilt stets für solch einen Operator T(X) ⊂ X (T ist dann automatisch ein stetiger Operator von X nach X), heißt X ein Interpolationsraum zwischen X₀ und X₁. Ein Interpolationsraum heißt exakt, wenn \begin{eqnarray}||T:X\to X||\le \max \{{M}_{0},{M}_{1}\}.\end{eqnarray}

Genauso nennt man für verträgliche Paare (X₀, X₁) und (Y₀, Y₁) ein Paar von Zwischenräumen X, Y ein Interpolationspaar, wenn \begin{eqnarray}||T:{X}_{0}\to {Y}_{0}||\lt\infty,\,\, ||T:{X}_{1}\to {Y}_{1}||\lt\infty\quad\Rightarrow\quad||T:X\to Y||\lt\infty, \end{eqnarray} und analog zum obigen Fall lautet die Definition eines exakten Interpolationspaars.

Klassische Interpolationssätze sind die Sätze von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz; ein Spezialfall des ersteren ist die Aussage, daß L^p ein exakter Interpolationsraum zwischen L¹ und L^∞ ist.

Abstrakte Interpolationsmethoden, die diese Sätze verallgemeinern, sind die komplexe Interpolationsmethode und die reelle Interpolationsmethode; diese liefern jeweils eine Skala von exakten Interpolationspaaren.

[1] Bennett, C.; Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Academic Press London/Orlando, 1988.
[2] Bergh, J.; Löfström, J.: Interpolation Spaces. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1976.