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Lexikon der Mathematik: Interpretation

inhaltliche Deutung, beispielsweise der Ausdrücke einer formalisierten Sprache (elementare Sprache, Prädikatenkalkül).

Für eine formalisierte Sprache L werden zunächst die Grundzeichen von L interpretiert, d. h., ihnen wird eine gewisse Bedeutung gegeben und entsprechend der zugrundegelegten Sprache wird anschließend diese Bedeutung induktiv auf Terme, Ausdrücke und Aussagen von L fortgesetzt. In der klassischen zweiwertigen Aussagenlogik z. B. werden die Funktoren ¬, ∧, ∨, ←, ↔ der Reihe nach als Negation, Konjunktion, Alternative, Implikation, Äquivalenz interpretiert und den Aussagenvariablen durch eine Belegung Wahrheitswerte zugeordnet, sodaß ein Ausdruck bei einer Belegung wahr oder falsch wird.

Zur Interpretation einer elementaren Sprache benötigt man zunächst eine nichtleere Menge A (den sog. Individuenbereich), die als Trägermenge einer algebraischen Struktur \({\mathcal{A}}\) dient. Die aussagenlogischen Funktoren ¬, ∧, ∨, ←, ↔ werden wie im Falle der Aussagenlogik interpretiert. Die Symbole ∃ ∀ = sind der Reihe nach als Existenzquantor, Allquantor bzw. als Identität zu verstehen. Desweiteren werden den Relations- und Funktionszeichen aus L Relationen bzw. Funktionen entsprechender Stellenzahl über A zugeordnet, und die Individuenzeichen sind durch fixierte Elemente aus A zu interpretieren. Die Individuenvariablen dürfen genau die Elemente aus A als Werte annehmen. Induktiv wird die Interpretation der Grundzeichen von L auf Terme, Ausdrücke und Aussagen in L erweitert. Dadurch ist es möglich, in der formalen Sprache L Aussagen über die entsprechende algebraische Struktur \({\mathcal{A}}\) zu formulieren. Häufig sagt man auch, daß die Stuktur \({\mathcal{A}}\) eine Interpretation der Sprache L ist, falls \({\mathcal{A}}\) und L die gleiche Signatur besitzen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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