Durchführung des Cholesky-Verfahrens mit Intervallen unter Ver-wendung der Intervallarithmetik zur Einschließung der symmetrischen Lösungsmenge einesIntervall-Gleichungssystems durch einen Intervallvektor x = (x_i).

Ist A = (a_ij) eine (n × n)-Intervallmatrix, die mit ihrer Transponierten übereinstimmt, und ist b = (b_i) ein Intervallvektor mit n Komponenten, so erhält man x = ICh(A, b) aus \begin{eqnarray}{\begin{array}{l}{\bf {1}}_{jj}={({\bf a}_{jj}-\mathop{\sum ^{j-1}}\limits_{k=1}{\bf 1}_{jk}^{2})}^{\frac{1}{2}}\\ {\bf{1}}_{ij}=({\bf a}_{ij}-\mathop{\sum ^{j-1}}\limits_{k=1}{\bf 1}_{ik}{\bf 1}_{jk})/{\bf 1}_{jj},\\ \quad\quad\quad\quad\space\quad i=j+1,\ldots, n\end{array}} \} j=1,\ldots, n;\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\bf y}_{i}=({\bf {b}}_{i}-\mathop{\sum ^{i-1}}\limits_{j=1}{\bf 1}_{ik}{\bf 1}_{jk})/{\bf 1}_{ii} & i=1,\ldots, n;\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\bf {x}}_{i}=({\bf {y}}_{i}-\mathop{\sum ^{n}}\limits_{j=i+1}{\bf 1}_{ji}{\text{x}}_{j})/{\bf 1}_{ii}, & i=n,\ldots, 1\end{array}\end{eqnarray} mit a² = {a²|a ∈ a} und a^1/2; = {\(\sqrt{a}|a\) ∈ a} für Intervalle a.

Das Verfahren ist genau dann durchführbar, wenn 0 \(\notin \) 1_ii für i = 1, … n gilt.

Notwendig, aber nicht hinreichend hierfür ist die positive Definitheit aller symmetrischen Matrizen A ∈ A; hinreichend ist z. B., daß A eine H-Matrix mit \({\underline {a}}_{ii}\) > 0 für i = 1, …, n ist.