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Lexikon der Mathematik: Intervall-Gauß-Algorithmus

Durchführung des Gaußschen Algorithmus mit Intervallen unter Verwendung der Intervallarithmetik zur Einschließung der Lösungsmenge eines Intervall-Gleichungssystems durch einen Intervallvektor x = (xi).

Ist \({\bf A}=({\bf a}_{ij}^{(1)})\) eine (n × n)- Intervallmatrix und ist \({\bf b}=({\bf b}_{i}^{(1)})\) ein Intervallvektor mit n Komponenten, so erhält man x = IGA(A, b) aus \begin{eqnarray}{\bf a}_{ij}^{(k+1)}=\left\{\begin{array}{ll}{\bf a}_{ij}^{(k)} & \text{falls}\quad i\le k\\ {\bf a}_{ij}^{(k)}-\frac{{\bf a}_{ik}^{(k)}}{{\bf a}_{kk}^{(k)}}{\bf a}_{kj}^{(k)} & \text{falls}\quad k\lt i,j\\ 0 & \text{sonst},\end{array}\right.\\ {\bf b}_{i}^{(k+1)}=\left\{\begin{array}{ll}{\bf b}_{i}^{(k)} & \text{falls}\quad i\le k\\ {\bf b}_{i}^{(k)}-\frac{{\bf a}_{ik}^{(k)}}{{\bf a}_{kk}^{(k)}}{\bf b}_{k}^{(k)} & \text{falls}\quad i\gt k,\end{array}\right.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad k=1,\ldots, n-1;\\ {\bf x}_{i}=({\bf b}_{i}^{(n)}-{\sum }_{j=i+1}^{n}{\bf a}_{ij}^{(n)}{\bf x}_{j})/{\bf a}_{ii}^{(n)},i=n,\ldots, 1.\end{eqnarray} Eine Pivotisierung ist hier noch nicht berücksichtigt. Eine optimale Pivotstrategie ist unbekannt.

Das Verfahren ist genau dann durchführbar, wenn \(0\notin {\bf a}_{kk}^{(k)}\) für k = 1, …, n gilt.

Notwendig, aber nicht hinreichend hierfür ist die Durchführbarkeit des Gaußschen Algorithmus für alle Matrizen AA; hinreichend ist z. B., daß A eine H-Matrix ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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