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Lexikon der Mathematik: Intervall

Teilmenge I einer totalen Ordnung (M, ≤), beispielsweise (ℝ, ≤), mit folgender Zusammenhangseigenschaft: \begin{eqnarray}\forall a,b\in I\,\,\forall x\in M\quad(a\le x\le b\Rightarrow x\in I).\end{eqnarray} Insbesondere sind also die leere Menge Ø und M selbst Intervalle.

Es seien –∞ und ∞ zwei nicht in M enthaltene Objekte. Die Ordnung von M wird durch die Vereinbarung –∞ < x < ∞ für x ∈ M fortgesetzt auf \(\bar{M}\): = M ∪ {-∞, ∞}. Die für , rM durch \begin{eqnarray}\begin{array}{l}[\ell,r]:=\{x\in \bar{M}|\ell\le x\le r\}\\ (\ell,r]:=\{x\in \bar{M}|\ell\le x\le r\}\\ [\ell,r):=\{x\in \bar{M}|\ell\le x\le r\}\\ (\ell,r):=\{x\in \bar{M}|\ell\le x\le r\}\end{array}\end{eqnarray} definierten Mengen sind Intervalle in \(\bar{M}\), und diejenigen davon, die –∞ und ∞ nicht enthalten, sind Intervalle in M. Jedes Intervall I in \(\bar{M}\) oder M ist von einer dieser Formen, nämlich mit = inf I und r = sup I. heißt jeweils linker Randpunkt und r rechter Randpunkt des Intervalls, und die im Intervall enthaltenen Punkte, die verschieden von den Randpunkten sind, also gerade die Punkte in (, r), nennt man innere Punkte des Intervalls. Es gilt [a, a] = {a} und (a, a) = [a, a) = (a, a] = Ø für a ∈ \(\bar{M}\). Ferner ist [-∞, ∞] = \(\bar{M}\) und (-∞, ∞) = M. Intervalle der Form [, r] heißen abgeschlossen, Intervalle (, r] links halboffen, Intervalle [, r) rechts halboffen und Intervalle (, r) offen.

Mittels der offenen Intervalle definiert man die Intervalltopologie auf M.

Es sei noch erwähnt, daß man den Begriff des Intervalls üblicherweise auf die reellen Zahlen bezieht, was aber im gerade geschilderten Sinne kein „Muß“ ist. Ist beispielsweise (V, ≤) eine Halbordnung, so nennt man die Menge [a, b] aller Elemente x aus V mit axb für a, bV Intervall einer Halbordnung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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