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Lexikon der Mathematik: Intervallarithmetik

das „Rechnen” mit Intervallen in der im folgenden beschriebenen Art und Weise.

In einer geordneten Menge (M, ≤) sei ein Intervall durch \begin{eqnarray}{\bf a}=[\underline {a},\bar{a}]=\{a\in M|\underline {a}\le a\le \bar{a}\}\end{eqnarray} definiert. \({\mathbb{I}}\)M = {[\(\underline{a}\), \(\bar{a}\)] |\(\underline {a}\) ≤ \(\bar{a}\)} bezeichne die Menge der Intervalle über M. \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\) bezeichnet also die abgeschlossenen, beschränkten reellen Intervalle.

Die arithmetischen Operationen o ∈ {+, −, ·, /} werden für reelle Intervalle durch \begin{eqnarray}{\bf a \circ b}=\diamond \{a \circ b|{a}\in {\bf a},\ b\in \bf {b}\}\end{eqnarray} eingeführt. Dabei bezeichnet ⋄ die Intervall-Hülle, das kleinste umfassende Intervall. Die Division o = / ist nicht definiert, falls 0 ∈ b.

Ferner gilt \begin{eqnarray}{\bf -a}=\diamond \{{-}a|a\in {\bf a}\}\text{.}\end{eqnarray} Neben den arithmetischen Operationen werden auch Intervall-Standardfunktionen definiert.

Formeln (1) und (2) sind die Grundlage für die Einschließungseigenschaft der Intervallarithmetik.

Die rechts stehenden Mengen sind wieder Intervalle, d. h. ⋄ ist in diesem Fall die Identität, und es gelten folgende Formeln zur Berechnung: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}[\underline {a},\bar{a}]+[\underline {b},\bar{b}] & = & [\underline {a}+\underline {b},\bar{a}+\bar{b}]\\ [\underline {a},\bar{a}]-[\underline {b},\bar{b}] & = & [\underline {a}-\bar{b},\bar{a}-\underline {b}]\\ [\underline {a},\bar{a}]\cdot [\underline {b},\bar{b}] & = & [\min (\underline {a}\cdot \underline {b},\underline {a}\cdot \bar{b},\bar{a}\cdot \underline {b},\bar{a}\cdot \bar{b}),\\ & & \max (\underline {a}\cdot \underline {b},\underline {a}\cdot \bar{b},\bar{a}\cdot \underline {b},\bar{a}\cdot \bar{b})]\\ [\underline {a},\bar{a}]/[\underline {b},\bar{b}] & = & [\min (\underline {a}/\underline {b},\underline {a}/\bar{b},\bar{a}/\underline {b},\bar{a}/\bar{b}),\\ & & \max (\underline {a}/\underline {b},\underline {a}/\bar{b},\bar{a}/\underline {b},\bar{a}/\bar{b})],\\ & & \text {falls}\space 0\notin [\underline {b},\bar{b}]\end{array}\end{eqnarray}

Bei Multiplikation und Division lassen sich durch Fallunterscheidung Operationen einsparen.

In \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\) gelten die folgenden algebraischen Gesetze.

  1. (\({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\), +) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement [0, 0], es gilt eine Kürzungsregel. a + b = c =b ⇒ a = c.
  2. (\({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\), ·) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement [1, 1].
  3. Inverse Elemente existieren im allgemeinen nicht. Es gilt 0 ∈ aa, 1 ∈ a/a. \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\) ist nullteilerfrei.
  4. Es gilt das Subdistributivgesetz: \begin{eqnarray}{\bf (a + b) \cdot c \subseteq a \cdot c + b \cdot c}. \end{eqnarray}Gleichheit gilt beispielsweise für c ∈ ℝ.

Die Definition der Intervallarithmetik läßt sich auf allgemeine, geordnete Mengen übertragen, man vergleiche komplexe Intervallarithmetik sowie den Artikel über Intervallrechnung.

[1] Alefeld, G.; Herzberger, J.: Einführung in die Intervall-rechnung. BI-Wissenschaftsverlag Mannheim, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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