Funktion im Raum der Intervalle, die durch Ersetzen der reellen Parameter einer reellen Funktion durch Intervalle der reellen Achse entsteht (Intervallrechnung).

Sei f : D ⊆ ℝⁿ → ℝ^m eine stetige Funktion und \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\)ⁿ bzw. \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\)^m Vektorräume über den reellen Intervallen \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\). Ferner bezeichne \({\mathbb{I}}\)(D) die Menge \(\{A\in {\mathbb{I}}{{\mathbb{R}}}^{n}|A\subset D\}\) der Intervalle in D. Eine Abbildung F : \({\mathbb{I}}\)(D) → \({\mathbb{I}}{\mathbb{R}}\)^m heißt Intervallerweiterung der Funktion f, falls \begin{eqnarray}\forall X\in {\mathbb{I}}(D):f(X)\subset F(X).\end{eqnarray} Eine Intervallerweiterung entsteht z. B. dadurch, daß man in einer Rechenvorschrift für f alle reellen Operationen durch Intervallrechenoperationen ersetzt.

Zumeist fordert man für eine Intervallerweiterung auch die Inklusionsisotonie \begin{eqnarray}\forall X,Y\in {\mathbb{I}}(D):X\subset Y\Rightarrow F(X)\subset F(Y)\end{eqnarray} und eine stetige Abhängigkeit vom Durchmesser d(X) des Intervalls X: \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\forall \varepsilon \gt 0:\exists \delta \gt 0:\forall X\in {\mathbb{I}}(D):\\ \quad d(X)\lt \delta \Rightarrow d(F(X))\lt \varepsilon.\end{array}\end{eqnarray}