Unter einem invarianten Maß auf einer Julia Menge \({\mathcal{J}}\) einer rationalen Funktion f versteht man ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf \({\mathcal{J}}\) derart, daß für jede μ-meßbare Menge E ⊆ \({\mathcal{J}}\) gilt \begin{eqnarray}\mu ({f}^{-1}(E))=\mu (E).\end{eqnarray}

Aus allgemeinen Resultaten der Funktionalanalysis folgt, daß stets ein invariantes Maß auf \({\mathcal{J}}\) existiert. Zur genaueren Erläuterung sei \({\mathfrak{B}}\) die σ-Algebra der Borel-Mengen von \({\mathcal{J}}\) und M(\({\mathcal{J}}\)) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem meßbaren Raum (\({\mathcal{J}}\), \({\mathfrak{B}}\)). Für \(z\in \hat{{\mathbb{C}}}\) sei δ_z das im Punkt z konzentrierte Dirac-Maß, d. h. für \(E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) gilt δ_z(E) = 1, falls z ∈ E, und δ_z(E) = 0, falls \(z\notin E\). Es gilt δ_z ∈ M(\({\mathcal{J}}\)) für alle z ∈ \({\mathcal{J}}\). Weiter ist M(\({\mathcal{J}}\)) eine konvexe Menge. Die schwach-*-Topologie auf M(\({\mathcal{J}}\)) ist die schwächste Topologie auf M(\({\mathcal{J}}\)) derart, daß für jedes φ ∈ C(\({\mathcal{J}}\)) die Abbildung Φ_ρ : M(\({\mathcal{J}}\)) → ℂ mit \({\Phi }_{\varphi }(\mu )=\mathop{\int }_{{\mathcal{J}}}\varphi d\mu \) stetig ist. Dabei ist C(\({\mathcal{J}}\)) der Raum aller stetigen Funktionen φ : \({\mathcal{J}}\) → ℂ. Mit dieser Topologie ist M(\({\mathcal{J}}\)) ein kompakter topologischer Raum.

Die Menge M(\({\mathcal{J}}\), f) ⊆ M(\({\mathcal{J}}\)) aller invarianten Maße ist nicht leer, kompakt und konvex. Es ist μ ein Extremalpunkt von M(\({\mathcal{J}}\), f) genau dann, wenn μ ein ergodisches Maß ist, d. h. für alle B ∈ \({\mathfrak{B}}\) mit f⁻¹(B) = B gilt μ(B) = 0 oder μ(B) = 1. Die Menge aller dieser Maße sei E(\({\mathcal{J}}\), f). Ein invariantes Maß μ auf \({\mathcal{J}}\) kann auch als invariantes Maß \(\hat{\mu }\) auf \(\hat{\mathbb{C}}\) mit supp \(\hat{\mu }\subset {\mathcal{J}}\) aufgefaßt werden, wenn man für \(E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) setzt \begin{eqnarray}\hat{\mu }(E):=\left\{\begin{array}{cl}\mu (E\mathop{\cap }\limits^{}{\mathcal{J}}), & \text{falls}\,E\,\mathop{\cap }\limits^{}{\mathcal{J}}\ne \varnothing, \\ 0, & \text{falls}\,E\,\mathop{\cap }\limits^{}{\mathcal{J}}=\varnothing.\end{array}\right.\end{eqnarray} Dabei ist supp \(\hat{\mu }\) der Träger von \(\hat{\mu }\), d. h. die Menge aller \(z\in \hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß für jede offene Umgebung U von z gilt \(\hat{\mu }(U)\gt 0\).

Zur Konstruktion eines solchen Maßes sei f eine rationale Funktion vom Grad d ≥ 2 und ℰ(f) die Menge aller \({z}_{0}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\bigcup }\limits^{\infty }}\limits_{n=1}\{\zeta \in \hat{{\mathbb{C}}}:{f}^{n}(\zeta )={z}_{0}\}\end{eqnarray} eine endliche Menge ist. Dabei bezeichnet fⁿ die n-te iterierte Abbildung von f. Die Menge ℰ(f) enthält höchstens zwei Elemente. Ist z. B. f ein Polynom, so ist ∞ ∈ ℰ(f), und für f(z) = z^d gilt ℰ(f) = {0, ∞}. Für \(a\in \hat{{\mathbb{C}}}\) und n ∈ ℕ sei \begin{eqnarray}{\mu }_{n}^{a}:=\frac{1}{{d}^{n}}\sum _{{f}^{n}(z)=a}{\delta }_{z}.\end{eqnarray} Summiert wird hier über alle \(z\in \hat{{\mathbb{C}}}\) mit fⁿ (z) = a, wobei die Vielfachheit der a-Stelle z zu berücksichtigen ist. Dann ist \({\mu }_{n}^{a}\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Es existiert ein nur von f abhängiges Wahrscheinlichkeitsmaß μ_f auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) derart, daß die Folge (\({\mu }_{n}^{a}\)) für jedes \(a\in \hat{{\mathbb{C}}}\backslash {\mathcal E} (f)\) schwach gegen μ_f konvergiert für n → ∞. Schwache Konvergenz bedeutet dabei, daß für jede Borel-Menge \(E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) mit \({\mu }_{f}(\partial E)=0\) gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\mu }_{n}^{a}(E)={\mu }_{f}(E).\end{eqnarray} Für den Träger von μ_f gilt supp μ_f = \({\mathcal{J}}\), und μ_f ist ein invariantes Maß auf \({\mathcal{J}}\). Definiert man für n ∈ ℕ \begin{eqnarray}{v}_{n}:=\frac{1}{{d}^{n}+1}\sum _{{f}^{n}(\zeta )=\zeta }{\delta }_{\zeta },\end{eqnarray} wobei über alle \(\zeta \in \hat{{\mathbb{C}}}\) mit fⁿ(ζ) = ζ summiert wird, so ist v_n ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\), und die Folge (v_n) konvergiert ebenfalls schwach gegen μ_f für n → ∞.

Invariante Maße spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Julia-Mengen rationaler Funktionen (siehe auch Iteration rationaler Funktionen). Um dies näher zu erläutern, sind einige Vorbereitungen notwendig. Dazu sei im folgenden f stets eine rationale Funktion vom Grad d ≥ 2 und \({\mathcal{J}}\) die Julia-Menge von f. Weiter sei μ ein invariantes Maß auf \({\mathcal{J}}\) und \({\mathfrak{B}}\) die σ-Algebra, auf der μ definiert ist. Zur einfacheren Formulierung einiger Ergebnisse sei vorausgesetzt, daß \(\infty \notin {\mathcal{J}}\). Viele der folgenden Überlegungen gelten auch für invariante Maße auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\), was jedoch nicht gesondert erwähnt wird, da dies in der Regel aus dem Zusammenhang hervorgeht.

Eine (meßbare) Zerlegung ξ von \({\mathcal{J}}\) ist eine Teilmenge von \({\mathfrak{B}}\) mit A ∩ B = Ø für alle A, B ∈ ξ mit A ≠ B und \(\mathop{\cup }\limits^{}\{A:A\in \xi \}={\mathcal{J}}\). Auf der Menge aller Zerlegungen von \({\mathcal{J}}\) wird eine Ordnungsrelation ≤ eingeführt durch ξ ≤ η, falls jede Menge A ∈ ξ eine Vereinigung von Mengen aus η ist. Jede Familie {ξ_j : j ∈ I} (wobei I eine beliebige Indexmenge ist) von Zerlegungen von \({\mathcal{J}}\) besitzt ein Supremum \({\bigvee }_{j\in I}{\xi }_{j}\) und ein Infimum \({\bigwedge }_{j\in I}{\xi }_{j}\) d. h. für alle k ∈ I gilt \begin{eqnarray}\mathop{\bigwedge }\limits_{j\in I}{\xi }_{j}\le {\xi }_{k}\le \mathop{\bigvee }\limits_{j\in I}{\xi }_{j},\end{eqnarray} und sind ξ, η Zerlegungen von \({\mathcal{J}}\) mit ξ ≤ ξ_k ≤ η für alle k ∈ I, so gilt \(\xi \le {\bigwedge }_{j\in I}{\xi }_{j}\) und \({\bigvee }_{j\in I}{\xi }_{j}\le \eta \). Die Zerlegung ϵ, die nur einelementige Mengen enthält, ist die größte Zerlegung von \({\mathcal{J}}\), während die triviale Zerlegung ν = {\({\mathcal{J}}\)} die kleinste Zerlegung von \({\mathcal{J}}\) ist. Sind ξ₁,…,ξ_n endliche Zerlegungen von \({\mathcal{J}}\), d. h. jedes ξ_j enthält nur endlich viele Elemente, so ist auch \({\bigvee }_{j=1}^{n}{\xi }_{j}\) eine endliche Zerlegung von \({\mathcal{J}}\).

Die Entropie einer endlichen Zerlegung ξ = {A₁,…,A_k} von \({\mathcal{J}}\) ist definiert durch \begin{eqnarray}{H}_{\mu }(\xi ):=-\mathop{\sum ^{k}}\limits_{j=1}\mu ({A}_{j})\mathrm{log}\mu ({A}_{j}).\end{eqnarray} Es gilt \(0\le {H}_{\mu }(\xi )\le \) log k und H_μ(ξ) = log k genau dann, wenn \(\mu ({A}_{j})=\frac{1}{k}\) für j = 1,…,k. Weiter sei \begin{eqnarray}{h}_{\mu }(f,\xi ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}{H}_{\mu }(\mathop{\mathop{\bigvee }\limits^{j=0}}\limits_{n-1}{f}^{-1}(\xi )),\end{eqnarray} wobei \({f}^{-1}(\xi )=\{{f}^{-1}({A}_{1}),\mathrm{...},{f}^{-1}({A}_{k})\}\) eine endliche Zerlegung von \({\mathcal{J}}\) ist und \({f}^{-1}(E)=\{z\in \hat{{\mathbb{C}}}:{f}^{j}(z)\in E\}\) für \(\begin{eqnarray}E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\end{eqnarray}\). Die Folge auf der rechten Seite ist monoton wachsend und daher konvergent, wobei der Grenzwert eventuell ∞ ist. Schließlich ist die Entropie von f definiert durch \begin{eqnarray}{h}_{\mu }(f):=\mathop{\sup }\limits_{\xi }{h}_{\mu }(f,\xi ),\end{eqnarray} wobei das Supremum über alle endlichen Zerlegungen ξ von \({\mathcal{J}}\) gebildet wird. Es gilt 0 ≤ h_μ(f) ≤ ∞ und \({h}_{\mu }({f}^{n})=n{h}_{\mu }(f)\) für alle \(n\in {{\mathbb{N}}}_{0}\). Man nennt noch f exakt bezüglich μ, falls \({\bigwedge }_{n=0}^{\infty }{f}^{-n}({\varepsilon} )=v\).

Für \(\varphi \in C\left( \mathcal{J},\,\mathbb{R} \right)\), d. h. φ : \({\mathcal{J}}\) → ℝ stetig, sei \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}P(f,\varphi )\,:& = &\mathop{\sup }\limits_{\mu \in M({\mathcal{J}},f)}\left({h}_{\mu }(f)+\displaystyle \int\limits_{{\mathcal{J}}}\varphi\, d\mu \right)\\ & = &\mathop{\sup }\limits_{\mu \in E({\mathcal{J}},f)}\left({h}_{\mu }(f)+\displaystyle \int\limits_{{\mathcal{J}}}\varphi\, d\mu \right).\end{array}\end{eqnarray} Die Abbildung \(P(f,\cdot ):C({\mathcal{J}},{\mathbb{R}})\to {\mathbb{R}}\mathop{\cup }\limits^{}(\infty )\) mit φ ↦ P(f, φ) heißt der topologische Druck von f. Weiter heißt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}h(f):=P(f,0) & =\mathop{\sup }\limits_{\mu \in M({\mathcal{J}},f)}{h}_{\mu }(f)\\ & =\mathop{\sup }\limits_{\mu \in E({\mathcal{J}},f)}{h}_{\mu }(f)\end{array}\end{eqnarray} die topologische Entropie von f. Man kann zeigen, daß h(f) = log d.

Ein Maß μ ∈ M(\({\mathcal{J}}\), f) heißt Gibbs-Maß bezüglich φ, falls \begin{eqnarray}P(f,\varphi )={h}_{\mu }(f)+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathcal{J}}}\varphi\, d\mu.\end{eqnarray} Die Menge aller dieser Maße sei \({M}_{\varphi }({\mathcal{J}},f)\). Ein Gibbs-Maß bezüglich 0 heißt Maß maximaler Entropie, und die Menge dieser Maße wird mit \({M}_{\max }({\mathcal{J}},f)\) bezeichnet, d.h. \({M}_{\max }({\mathcal{J}},f)={M}_{0}({\mathcal{J}},f)\). Es kann vorkommen, daß \({M}_{\varphi }({\mathcal{J}},f)=\varnothing \), jedoch gilt folgender Satz.

1. Für jede Menge \(E\subset {\mathbb{C}}\) gilt 0 ≤ dim_HE ≤ 2.
2. Ist E eine höchstens abzählbare Menge, so ist dim_HE = 0.
3. Gilt E ⊂ F, so gilt dim_HE ≤ dim_HF.
4. Ist E eine zusammenhängende Menge mit mindestens zwei Punkten, so ist dim_HE ≥ 1. Ist E speziell ein rektifizierbarer Weg, so ist dim_HE = 1, und \({\ell }_{1}(E)\) ist die Länge von E.
5. Ist E eine nicht-leere offene Menge, so ist dim_HE = 2, und \(\frac{\pi }{4}{\ell }_{2}(E)\) ist das zwei-dimensionale Lebesgue-Maß von E.

Diese Überlegungen lassen sich auf Mengen \(E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) übertragen, wenn man statt der Euklidischen Metrik in ℂ die chordale Metrik in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) benutzt.

Die Borel-Dimension eines beliebigen Maßes μ auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist definiert durch \begin{eqnarray}\dim \mu :=\inf \{{\dim }_{\text{H}}\,E:E\subset \hat{{\mathbb{C}}}\,\mu (\hat{{\mathbb{C}}}\backslash E)=0\}.\end{eqnarray} Ist μ invariant, so existiert der Grenzwert \begin{eqnarray}{\chi }_{\mu }(z):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\mathrm{log}|({f}^{n}{)}{^{\prime} }(z)|\in [-\infty, \infty )\end{eqnarray} für μ-fast alle \(z\in \hat{{\mathbb{C}}}\). Die Zahl χ_μ(z) heißt charakteristischer Exponent von μ. Falls μ zusätzlich er- godisch ist, so hängt χ_μ nicht von z ab, und es gilt \begin{eqnarray}{h}_{\mu }(f)=\max \{{\chi }_{\mu },0\}\dim \mu\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\dim \mu =\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{\mathcal E} \to 0}\frac{\mathrm{log}\mu ({B}_{{\varepsilon} }(z))}{\mathrm{log}\,{\varepsilon} }\end{eqnarray} für μ-fast alle \(z\in \hat{{\mathbb{C}}}\). Ist \({h}_{\mu }(f)\gt 0\), so gilt χ_μ > 0, supp \(\mu \subset {\mathcal{J}}\) und dim μ > 0. Wählt man für μ das Maß maximaler Entropie, so gilt \begin{eqnarray}{h}_{\mu }(f)=h(f)=\mathrm{log}\,d\ge \mathrm{log}\,2\gt 0,\end{eqnarray} und daher folgt \begin{eqnarray}{\dim }_{\text{H}}{\mathcal{J}}\ge \dim \mu \gt 0.\end{eqnarray} Ist f expandierend auf \({\mathcal{J}}\), so besitzt die Gleichung \begin{eqnarray}P(f,-\delta\, \mathrm{log}|{f}{^{\prime} }|)=0\end{eqnarray} genau eine Lösung δ. Es gilt \(\delta ={\dim }_{\text{H}}{\mathcal{J}},0\lt {\dim }_{\text{H}}{\mathcal{J}}\lt 2\) und \(0\lt {\ell }_{\delta }({\mathcal{J}})\lt \infty \). Weiter ist \({\ell }_{\delta }\) quasi-invariant und f exakt bezüglich \({\ell }_{\delta }\). Dabei heißt ein Maß μ auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) quasi-invariant, falls μ(f⁻¹(E))) = 0 genau dann, wenn μ(E) = 0. Zum Beispiel ist auch das Lebesgue-Maß auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) quasi-invariant.

Ein konformes Maß mit Exponent δ > 0 ist ein Maß μ auf \({\mathcal{J}}\) mit \begin{eqnarray}\mu (f(A))=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}|{f}{^{\prime} }{|}^{\delta }d\mu \end{eqnarray} für alle μ-meßbaren Mengen \(A\subset {\mathcal{J}}\). Ist f expandierend auf \({\mathcal{J}}\), so ist das normalisierte Hausdorff-Maß \({\ell }_{\delta }\) auf \({\mathcal{J}}\) (d. h. das Hausdorff-Maß wird auf \({\mathcal{J}}\) eingeschränkt und so normiert, daß \({\ell }_{\delta }({\mathcal{J}})=1\)) das eindeutig bestimmte konforme Wahrscheinlichkeitsmaß mit Exponent δ = dim_H\({\mathcal{J}}\) auf \({\mathcal{J}}\). Das Gibbs-Maß μ_δ bezüglich \({\varphi }_{\delta }=-\delta \mathrm{log}|{f}{^{\prime} }|\) ist äquivalent zu \({\ell }_{\delta }\), d. h. für \(E\subset {\mathcal{J}}\) gilt μ_δ(E) = 0 genau dann, wenn \({\ell }_{\delta }(E)=0\).

Ist f expandierend auf \({\mathcal{J}}\) und besteht die Fatou- Menge von f aus genau zwei Zusammenhangskomponenten, so ist \({\mathcal{J}}\) eine Jordan-Kurve. Weiter ist \({\mathcal{J}}\) entweder eine Kreislinie oder \(1\lt {\dim }_{\text{H}}{\mathcal{J}}\lt 2\). Man nennt Kurven \(\Gamma \subset {\mathbb{C}}\) mit dim_H Γ > 1 auch fraktale Kurven. Ist speziell \begin{eqnarray}f(z)={f}_{{\varepsilon} }(z)={z}^{2}+{\varepsilon}, \end{eqnarray} wobei ϵ im Innern der Hauptkardioide der Mandelbrot-Menge liegt, so hängt \(\delta ({\varepsilon} )={\dim }_{\text{H}}{\mathcal{J}}({f}_{{\varepsilon} })\) reell analytisch von |ϵ| ab. Genauer gilt für hinreichend kleine ϵ \begin{eqnarray}\delta ({\varepsilon} )=1+\frac{|{\varepsilon} {|}^{2}}{4\,\mathrm{log}\,2}+c({\varepsilon} ),\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{{\varepsilon} \to 0}\frac{c({\varepsilon} )}{{{\varepsilon} }^{2}}=0.\end{eqnarray} Für ϵ = 0 ist \({\mathcal{J}}({f}_{{\varepsilon} })\) die Einheitskreislinie, während \({\mathcal{J}}({f}_{{\varepsilon} })\) für ϵ ≠ 0 eine fraktale Jordan-Kurve ist.

Abschließend sei U ein vollständig invariantes stabiles Gebiet von f, d.h. f(U) = f⁻¹(U) = U. Dann ist \(\partial U={\mathcal{J}}\), und das harmonische Maß \({\omega }_{U}^{a}\) ist für jedes a ∈ U ein invariantes Maß auf \({\mathcal{J}}\). Ist speziell f ein Polynom, so existiert ein vollständig invariantes stabiles Gebiet \(U={\mathcal{A}}(\infty )\) von f, das den Punkt ∞ enthält. In diesem Fall stimmt das harmonische Maß \({\omega }_{U}^{\infty }\) mit dem Maß maximaler Entropie überein, und es gilt dim \({\omega }_{U}^{\infty }=1\).