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Lexikon der Mathematik: inverse Galois-Theorie

behandelt das im folgenden dargestellte Problem.

Es sei eine endliche Gruppe G gegeben. Gibt es Körperpaare \(({\mathbb{L}},{\mathbb{K}})\) (wenn ja, welche) derart, daß \({\mathbb{L}}\) eine Galoissche Körpererweiterung von \({\mathbb{K}}\) mit Galois-Gruppe \(Gal({\mathbb{L}}/{\mathbb{K}})\cong G\) ist? Oder, in äquivalenter Formulierung: Gibt es Polynome über einem Körper \({\mathbb{K}}\), deren Galoisgruppe isomorph zu G ist (Galois-Theorie), und wenn ja, welche?

Die Antwort hängt in wesentlicher Weise von dem Grundkörper \({\mathbb{K}}\) ab. Aus der Theorie der Riemannschen Flächen folgt, daß jede endliche Gruppe als Galois-Gruppe über dem Körper ℂ(t) der komplexen rationalen Funktionen zu realisieren ist. Von speziellem Interesse ist der Fall \({\mathbb{K}}={\mathbb{Q}}\).

Auch heute (2000) ist noch nicht bekannt, ob jede endliche Gruppe als Galois-Gruppe über \({\mathbb{Q}}\) realisierbar ist. Einige klassische Ergebnisse hierzu sind, daß die abelschen Gruppen, die symmetrischen Gruppen Sn, die alternierenden Gruppen An und die auflösbaren Gruppen realisiert werden können. In den letzten 20 Jahren des 20. Jahrhunderts wurden viele der einfachen endlichen Gruppen realisert. Teilweise sind die Polynome explizit bekannt. Für eine Überblick über den Stand des Wissens sei auf [1] verwiesen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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