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Lexikon der Mathematik: inverse Matrix

die zu einer regulären (n × n)-Matrix A über \({\mathbb{K}}\) eindeutig gegebene (n × n)-Matrix A−1 über \({\mathbb{K}}\) mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}A{A}^{-1}={I}_{n};\end{eqnarray} dabei bezeichnet In die (n × n)-Einheitsmatrix.

Die Matrix A−1 wird dann als invers zu A bezeichnet. Gilt AA−1 = In, so gilt auch A−1A = In; die Relation „ist invers zu“ ist also symmetrisch, d. h. ist A invers zu B, so ist auch B invers zu A. Repräsentiert die Matrix A einen Automorphismus \(\phi :V\to V\) auf einem n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum V bezüglich einer Basis b von V, so repräsentiert A−1 den zu φ inversen Automorphismus φ−1 bezüglich b.

Die inverse Matrix (A1A2···Am)−1 des (regulären) Produktes von m regulären (n × n)-Matrizen A1Am ist gegeben durch \begin{eqnarray}{({A}_{1}\cdots {A}_{m})}^{-1}={A}_{m}^{-1}\cdots {A}_{1}^{-1}.\end{eqnarray} Um die Matrix A−1 zu berechnen, überführt man beispielsweise A mit Hilfe einer Folge elementarer Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix; wendet man dieselbe Folge elementarer Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix an, so erhält man A−1.

Eine andere Möglichkeit zur „Inversion von Matrizen“ ist die folgende: Bezeichnet αji die Adjunkte des Elementes αij, so ist die inverse Matrix A−1 der regulären Matrix A = ((αij)) gegeben durch \begin{eqnarray}{A}^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot (({\alpha }_{ji})),\end{eqnarray} wobei ((αji)) die aus den Adjunkten gebildete Matrix bezeichnet.

Eine (n × n)-Matrix A ist genau dann invertierbar (d.h. ihre inverse Matrix A−1 existiert), wenn sie Rg n hat, was genau dann gilt, wenn ihre Determinante nicht verschwindet.

Die invertierbaren (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) beschreiben bzgl. fest gewählter Basen gerade die Isomorphismen zwischen n-dimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorräumen.

Statt „inverse Matrix“ verwendet man gelegentlich auch den Begriff Kehrmatrix.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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