eine spezielle Inversion am Kreis, nämlich die Abbildung \(f:{{\mathbb{C}}}^{* }\to {{\mathbb{C}}}^{* }\) mit \(f(z)=1/z\) für \(z\in {{\mathbb{C}}}^{* }={\mathbb{C}}\backslash \{0\}\).

Sie vermittelt eine konforme Abbildung von \({{\mathbb{C}}}^{* }\) auf \({{\mathbb{C}}}^{* }\), wobei \(\mathop{{\mathbb{E}}}\limits^{.}=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z|\lt 1\}\) konform auf \(\Delta =\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\gt 1\}\) und Δ konform auf \(\mathop{{\mathbb{E}}}\limits^{.}\) abgebildet wird. Die Einheitskreislinie \({\mathbb{T}}\) wird bijektiv auf sich abgebildet. Außerdem gilt \({f}^{-1}=f\). Die Fixpunkte von f sind ±1.

Für \(z\in {{\mathbb{C}}}^{* }\) kann man den Bildpunkt f(z) mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu sei zunächst \(|z|\lt 1\). Man zeichnet den Strahl S von 0 durch z nach ∞ und konstruiert eine Gerade L durch z senkrecht zu S. In einem der beiden Schnittpunkte von L mit \({\mathbb{T}}\) errichtet man die Tangente T an \({\mathbb{T}}\). Der Schnittpunkt von T mit S sei z*. Schließlich wird z^* noch an der reellen Achse gespiegelt, und man erhält f(z).