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Lexikon der Mathematik: Irrationalität von π und π2

eine der im zahlentheoretischen Sinne markantesten Eigenschaften der Zahl π.

Die Irrationalität von π selbst wurde schon von Aristoteles behauptet, aber erst 1761 von Johann Heinrich Lambert bewiesen, indem er mittels einer Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion zeigte, daß tan x für alle rationalen x ≠ 0 irrational ist, und x = \(\frac{\pi }{4}\) setzte. 1794 zeigte Adrien-Marie Legendre auch die Irrationalität von π2 und vermutete die Transzendenz von π.

1947 veröffentlichte Ivan Niven einen elementaren Beweis für die Irrationalität von π : Wäre π = \(\frac{a}{b}\) mit natürlichen Zahlen a und b, so nähmen für n ∈ ℕ das Polynom \begin{eqnarray}f(x)=\frac{1}{n!}{x}^{n}{(a-bx)}^{n}\end{eqnarray} und seine Ableitungen f′(x),…,f(2n)(x) für x ∈ {0, π} ganzzahlige Werte an. Mit \begin{eqnarray}F(x):=\mathop{\sum ^{n}}\limits_{v=0}{(-1)}^{v}{f}^{(2v)}(x)\end{eqnarray} wäre daher \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{\pi }}\limits_{0}f(x)\sin x\,dx={[{F}{^{\prime} }(x)\sin x-F(x)\cos x]}_{0}^{\pi }=F(\pi )+F(0)\end{eqnarray} ganzzahlig. Wegen \begin{eqnarray}0\lt f(x)\sin x\lt \frac{1}{n!}{\pi }^{n}{a}^{n}\end{eqnarray} für 0 < x < π ist das Integral aber positiv und wird für hinreichend große n beliebig klein.

Ähnlich ist auch die Irrationalität von π2 zu zeigen. Es ist aber beispielsweise nicht bekannt, ob ln π rational oder irrational ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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