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Lexikon der Mathematik: Isomorphismus

bijektive lineare Abbildung f : UV zwischen zwei Mengen, meist Vektorräumen U und V.

Die Hintereinanderausführung gf : UW zweier Isomorphismen f : UV und g : VW ist wieder ein Isomorphismus; ebenso die Umkehrabbildung f-1 : VU.

Eine lineare Abbildung f : UV ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie eine beliebige Basis von U auf eine Basis von V abbildet. Zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen (Dimension eines Vektorraumes) über demselben Körper existiert genau dann ein Isomorphismus, wenn die Räume gleiche Dimension besitzen. Bzgl. fest gewählter Basen (u1,…,un) von U und (ν1,…,νn) von V wird ein Isomorphismus durch eine reguläre (n × n)-Matrix beschrieben und umgekehrt; die Isomorphismen zwischen n-dimensionalen Vektorräumen entsprechen bzgl. fest gewählter Basen also umkehrbar eindeutig den regulären (n × n)-Matrizen. Eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen ist genau dann bijektiv, d. h. ein Isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Beispiele: (1) Ist B = (bi)i∈I eine Basis des \({\mathbb{K}}\)- Vektorraumes V, so ist V isomorph zu \({\mathbb{K}}\)I Ein Isomorphismus ist gegeben durch \begin{eqnarray}f:V\to {{\mathbb{K}}}^{I};\upsilon =\sum _{i\in I}{\alpha }_{i}{b}_{i}\mapsto {({\alpha }_{i})}_{i\in I}.\end{eqnarray} (2) Ist die Abbildung F : UV linear, ist (u1,…,um, w1,…,wn) eine Basis von U mit ⟨u1,…,um⟩ = KerF, und bezeichnet W den von w1,…,wn aufgespannten Unterraum von U, so ist durch die Abbildung F|W : W → Im F; wF(w) ein Isomorphismus gegeben.

Neben der hier beschriebenen (und in der Praxis am häufigsten auftretenden) Isomorphie von Vektorräumen existiert der Begriff des Isomorphismus auch in anderen Bereichen, siehe etwa Isomorphismus von Kategorien; fundamental ist dabei immer die Tatsache, daß es sich um eine eineindeutige Beziehung zwischen zwei Strukturen handelt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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