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Lexikon der Mathematik: isoperimetrisches Problem

die Aufgabe, für Klassen von Kurven einer Ebene mit gegebenem Umfang diejenige Kurve zu finden, die den größten Flächeninhalt einschließt.

Es sei M die Menge der ebenen, rektifizierbaren und einfach geschlossenen Kurven γ einer gegebenen Länge L. Dann besteht das isoperimetrische Problem darin, die Kurve aus der Menge M zu suchen, für die der Flächeninhalt des von der Kurve umschlossenen Bereichs maximal wird. Das Problem wird gelöst durch den Kreis vom Radius \(\frac{L}{2\pi }\).

Für alle n-Ecke (mit festem n ∈ ℕ, n ≥ 3) gegebenen Umfangs ist das regelmäßige n-Eck dasjenige mit dem größten Flächeninhalt. Falls als Klasse von Kurven die Menge der glatten Kurven der (x, y)-Ebene betrachtet wird, so kann das isoperimetrische Problem für einen gegebenen Umfang U folgendermaßen formuliert werden: Man finde einen Kurve mit der Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) (für t ∈ [t1, t2]), für die x(t1) = x(t2) und y(t1) = y(t2) gilt und die keine weiteren Punkte doppelt enthält, mit \begin{eqnarray}U=\mathop{\mathop{\int }\limits^{{t}_{2}}}\limits_{{t}_{1}}\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^{2}+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^{2}}dt,\end{eqnarray} so, daß \begin{eqnarray}A=\frac{1}{2}\mathop{\mathop{\int }\limits^{{t}_{2}}}\limits_{{t}_{1}}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)dt\end{eqnarray} maximal wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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