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Lexikon der Mathematik: iterierte Abbildungen

wiederholt angewandte Abbildungen.

Genauer sind iterierte Abbildungen wie folgt definiert: Es sei \(G\subset {\mathbb{C}}\) ein Gebiet, \(f:G\to G\) eine innere Abbildung, \({f}^{1}:=f\) und \({f}^{n+1}:={f}^{n}\circ f=f\circ {f}^{n}\) für \(n\in {\mathbb{N}}\), wobei о die Komposition von Abbildungen bezeichnet.

Dann heißt fn die n-te Iterierte von f. Sie ist ebenfalls eine innere Abbildung von G in G. Weitere gebräuchliche Bezeichnungen sind \({f}^{[n]}\) oder \({f}^{\circ n}\). Man definiert oft noch \({f}^{0}(z):=z\) für zG.

Von Interesse ist das Verhalten der Folge (fn) für n → ∞. Die Situation ist besonders einfach, falls f einen (super)attraktiven Fixpunkt in G besitzt. Es gilt folgender Satz.

Es sei \(G\subset {\mathbb{C}}\), f ∈ Hol G und ζ ∈ G.

  1. Gilt f(ζ) = ζ und |f′(ζ)| < 1, so existiert ein Gebiet \(\hat{G}\subset G\)derart, daß \(\zeta \in \hat{G}\)und die Folge (fn) in \(\hat{G}\)kompakt konvergent gegen die konstante Funktion ζ ist. Enthält ℂ \ G mindestens zwei verschiedene Punkte, so gilt diese Aussage in ganz G.
  2. Ist umgekehrt die Folge (fn) in G kompakt konvergent gegen die konstante Funktion ζ, so gilt f(ζ) = ζ und \(|{f}{^{\prime} }(\zeta )|\lt 1\).

Falls die Folge (fn) in G kompakt gegen eine nicht-konstante Grenzfunktion konvergiert, so gilt bereits f(z) = z für alle zG. Eine weitere wichtige Aussage liefert ein Satz von Cartan (Cartan, Satz von, über Automorphismen).

Im Spezialfall \(G={\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) gelten die folgenden genaueren Aussagen.

Es sei f ∈ Hol \({\mathbb{E}}\).

  1. Besitzt f keinen Fixpunktin e, so ist (fn) in \({\mathbb{E}}\)kompakt konvergent gegen eine konstante Grenzfunktion u mit |u| = 1.
  2. Besitzt f genau einen Fixpunkt \(\zeta \in {\mathbb{E}}\), und ist \(f\notin \)Aut \({\mathbb{E}}\), so ist (fn) in \({\mathbb{E}}\)kompakt konvergent gegen die konstante Grenzfunktion ζ.

Die Aussage (1) ist auch unter dem Namen Satz von Denjoy-Wolff bekannt.

Der Fall, daß f mindestens zwei verschiedene Fixpunkte in \({\mathbb{E}}\) besitzt, ist uninteressant, da dann bereits f(z) = z für alle \(z\in {\mathbb{E}}\) gilt. Ist f ∈ Aut \({\mathbb{E}}\) und besitzt f genau einen Fixpunkt \(\zeta \in {\mathbb{E}}\) so ist die Folge (fn(z)) für kein \(z\in {\mathbb{E}}\backslash \{\zeta \}\) konvergent.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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