Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Iversen, Satz von

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei f eine transzendente meromorphe Funktion in \({\mathbb{C}}\)und \({w}_{0}\in \hat{{\mathbb{C}}}\)derart, daß \(f(z)\ne {w}_{0}\)für alle \(z\in {\mathbb{C}}\). Dann ist w0ein asymptotischer Wert von f.

Dabei heißt \({w}_{0}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) ein asymptotischer Wert von f, falls es einen Weg \(\gamma :[0,\infty )\to {\mathbb{C}}\) gibt mit \(\gamma (t)\to \infty (t\to \infty )\) und \(f(\gamma (t))\to {w}_{0}(t\to \infty )\). Es kann mehrere Wege mit dieser Eigenschaft geben. Jeden solchen Weg nennt man einen asymptotischen Weg.

Ist speziell f eine ganz transzendente Funktion, so erfüllt w0 = ∞ die Voraussetzungen des Satzes von Iversen und ist somit ein asymptotischer Wert von f. Nach dem großen Satz von Picard für meromorphe Funktionen gibt es höchstens drei Werte, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen. Es können jedoch mehr als drei asymptotische Werte existieren, und es gibt sogar ganz transzendente Funktionen, für die jeder Wert \({w}_{0}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) ein asym-ptotischer Wert ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos