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Lexikon der Mathematik: Jacobi-Determinante

Funktionaldeterminante, die Determinante der Jacobi-Matrix Jf(x) einer an der Stelle x, die innerer Punkt von \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) sei, mit einer partiell differenzierbaren Funktion \(f:G\to {{\mathbb{R}}}^{n}\).

Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist \({f}{^{\prime} }(x)={J}_{f}(x)\) genau dann invertierbar, wenn det \({J}_{f}(x)\ne 0\) gilt. Die Jacobi-Determinante kann daher etwa bei der Untersuchung der Existenz impliziter Funktionen benutzt werden.

Ist speziell \(D\subset {\mathbb{C}}\) eine offene Menge, z0D und \(f=u+iv:D\to {\mathbb{C}}\) eine an z0 komplex differenzierbare Funktion, so erhält man aufgrund der Cauchy-Riemann-Gleichungen die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\det {J}_{f}({z}_{0}) & = & \det \left(\begin{array}{ll}{u}_{x}({z}_{0}) & {u}_{y}({z}_{0})\\ {v}_{x}({z}_{0}) & {v}_{y}({z}_{0})\end{array}\right)\\ & = & {u}_{x}({z}_{0}){v}_{y}({z}_{0})-{u}_{y}({z}_{0}){v}_{x}({z}_{0})\\ & = & {({u}_{x}({z}_{0}))}^{2}+{({u}_{y}({z}_{0}))}^{2}=|{f}{^{\prime} }({z}_{0}){|}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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