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Lexikon der Mathematik: Jacobi-Matrix

Funktionalmatrix, an der Stelle x = (x1,…,xn), die innerer Punkt von \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) sei, einer dort partiell differenzierbaren Funktion \(f=({f}_{1},\mathrm{\ldots },{f}_{m}):G\to {{\mathbb{R}}}^{m}\), die Matrix der par-tiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen \({f}_{1},\mathrm{\ldots },{f}_{m}:G\to {\mathbb{R}}\), d. h. die Matrix \begin{eqnarray}{J}_{f}(x)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial {f}_{1}}{\partial {x}_{1}}(x) & \ldots & \frac{\partial {f}_{1}}{\partial {x}_{n}}(x)\\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial {f}_{m}}{\partial {x}_{1}}(x) & \ldots & \frac{\partial {f}_{m}}{\partial {x}_{n}}(x)\end{array}\right).\end{eqnarray} Ist f an der Stelle x differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen \(\frac{\partial {f}_{\mu }}{\partial {x}_{v}}(x)\), und es gilt \({f}{^{\prime} }(x)={J}_{f}(x)\), jedoch folgt aus der Existenz aller partiellen Ableitungen an der Stelle x nicht einmal die Stetigkeit von f an der Stelle x, wie das Beispiel \(\varphi :{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}\varphi (x,y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} zeigt.

Daß man die Jacobi-Matrix Jf(x) bilden kann, heißt also nicht unbedingt, daß f an der Stelle x differenzierbar ist. Es gilt aber:

Existieren alle partiellen Ableitungen \(\frac{\partial {f}_{\mu }}{\partial {x}_{v}}\)in einer Umgebung des Punktes x, und sind sie in x stetig, so ist f an der Stelle x differenzierbar (und es ist \({f}{^{\prime} }(x)={J}_{f}(x)\)).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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