eine Integral-Transformation der Form \(f\mapsto {F}_{n}^{(\alpha, \beta )}\), \begin{eqnarray}{F}_{n}^{(\alpha, \beta )}:=\mathop{\mathop{\int }\limits^{1}}\limits_{-1}{P}_{n}^{(\alpha, \beta )}(x)f(x)\,dx\,(n\in {{\mathbb{N}}}_{0},\alpha, \beta \gt 0)\end{eqnarray} mit den Jacobi-Polynomen \({P}_{n}^{(\alpha, \beta )}\).

Die inverse Jacobi-Transformation ist gegeben durch die Formel \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}{{2}^{(\alpha +\beta +1)}\Gamma (\alpha +n+1)\Gamma (\beta +n+1)}{(1-x)}^{\alpha }{(1+x)}^{\beta }{P}_{n}^{(\alpha, \beta )}(x){F}_{n}^{(\alpha, \beta )}\right)\quad(x\in (-1,1)),\end{eqnarray} falls die Reihe konvergiert.