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Lexikon der Mathematik: Jacobi-Verfahren

Gesamtschrittverfahren, einfaches iteratives Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b, mit einer Matrix \(A\in {{\mathbb{R}}}^{n\times n}\), deren Diagonaleinträge alle ungleich Null sind.

Zerlegt man die Matrix A in die Summe des unteren Dreieckes L \begin{eqnarray}L=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ {a}_{21} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ {a}_{31} & {a}_{32} & \ddots & 0 & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ {a}_{n1} & {a}_{n2} & \cdots {a}_{n,n-1} & 0 & \end{array}\right),\end{eqnarray} des oberen Dreieckes R \begin{eqnarray}R=\left(\begin{array}{ccccc}0 & {a}_{12} & {a}_{13} & \cdots & {a}_{1n}\\ 0 & 0 & {a}_{23} & \cdots & {a}_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & {a}_{n-1,n}\\ 0 & 0 & \cdots & \cdots 0 & \end{array}\right),\end{eqnarray} und der Diagonalmatrix \begin{eqnarray}D=\text{diag}\,({a}_{11},{a}_{22},\mathrm{\ldots },{a}_{nn})\end{eqnarray} in \begin{eqnarray}A=L+D+R,\end{eqnarray} dann lautet die Fixpunktiteration des Jacobi-Verfahrens \begin{eqnarray}D{x}^{(k+1)}=-(L+R){x}^{(k)}+b,\end{eqnarray} bzw. für i = 1, 2,…,n \begin{eqnarray}{x}_{i}^{(k+1)}=\left({b}_{i}-\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{x}_{j}^{(k)}-\displaystyle \sum _{j-i+1}^{n}{a}_{ij}{x}_{j}^{(k)}\right)/{a}_{ii}.\end{eqnarray} Man verwendet hier bei der Berechnung einer neuen Komponente der Näherungslösung nicht die bereits verfügbaren neuen Komponenten des Iterationsschritts. Es wird z. B. \({x}_{1}^{(k)}\) bei der Berechnung von \({x}_{2}^{(k+1)}\) verwendet, obwohl \({x}_{1}^{(k+1)}\) schon bekanntist. Modifiziert man das Jacobi-Verfahren so, daß man stets die bereits berechneten neuen Komponenten direkt verwendet, erhält man das Gauß-Seidel-Verfahren.

Das Jacobi-Verfahren konvergiert u. a. für striktdiagonaldominante Matrizen A, d. h. für Matrizen A mit \begin{eqnarray}|{a}_{ii}|\gt \mathop{\sum ^{n}}\limits_{j=1,j\ne i}|{a}_{ij}|.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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