ein Kriterium für die Re- gularität eines Ringes.

Es sei \begin{eqnarray}I=({f}_{1},\mathrm{\ldots },{f}_{m})\subset K[{x}_{1},\mathrm{\ldots },{x}_{n}]\end{eqnarray} ein Ideal, K ein Körper der Charakteristik 0. Sei P ein zu I assoziiertes Primideal und \(Q\supseteq P\) ein Primideal. Dann ist der lokale Ring \begin{eqnarray}K{[{x}_{1},\mathrm{\ldots },{x}_{n}]}_{Q}/IK{[{x}_{1},\mathrm{\ldots },{x}_{n}]}_{Q}\end{eqnarray} ein regulärer Ring genau dann, wenn \begin{eqnarray}\text{Rang}\left(\left(\frac{\partial {f}_{i}}{\partial {x}_{j}}\,\text{modulo}\,Q\right)\right)=\mathrm H\ddot{\mathrm o}\mathrm {\text he}\,({P})\end{eqnarray} gilt.

Für den Spezialfall, daß P = I und \(Q=({x}_{1}-{a}_{1},\ldots, {x}_{n}-{a}_{n})\) ist, bedeutet das geometrisch: Der Punkt \(\mathop{a}\limits_{-}=({a}_{1},\mathrm{\ldots },{a}_{n})\in V(I)\), wobei \begin{eqnarray}V(I)=\{b\in {K}^{n}|f(b)=0\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\ f\in {I}\},\end{eqnarray} ist regulär (oder glatt) genau dann, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\text{Rang}\,\left(\frac{\partial {f}_{i}}{\partial {x}_{j}}(\mathop{a}\limits_{\_})\right)\\ =n-\dim (V(I))\\ =n-\dim (K[{x}_{1},\mathrm{\ldots },{x}_{n}]/I)\end{array}\end{eqnarray} ist.