für eine ungerade Primzahl p und beliebige \(t\in {\mathbb{Z}}\) definierte Summe über gewisse Legendre-Symbole, nämlich \begin{eqnarray}{T}_{p}(t)=\mathop{\sum ^{p-1}}\limits_{k=1}\left(\frac{k({k}^{2}-t)}{p}\right).\end{eqnarray}

Die Jacobsthalschen Summen kann man dazu benutzen, die Anzahl Q_p(3) der Tripel aufeinanderfolgender quadratischer Reste modulo p, die aus natürlichen Zahlen < p bestehen, zu bestimmen: Es ist \begin{eqnarray}{Q}_{p}(3)=\frac{1}{8}(p+{T}_{p}(1)-11-4\cdot {(-1)}^{(p-1)/4}),\end{eqnarray} falls p ≡ 1 mod 4, und \begin{eqnarray}{Q}_{p}(3)=\left\lfloor \frac{p}{8}\right\rfloor,\end{eqnarray} falls p ≡ 3 mod 4.

Außerdem gilt \(|{T}_{p}(1)|\le 2\sqrt{p}\) für p ≡ 1 mod 4. Für große Primzahlen p gewinnt man damit die Abschätzung \begin{eqnarray}{Q}_{p}(3)=\frac{p}{8}+O(\sqrt{p}).\end{eqnarray}