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Lexikon der Mathematik: Jensen-Ungleichung

die Ungleichung \begin{eqnarray}{\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}{x}_{t}^{s}\right)}^{\frac{1}{s}}\le {\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}{x}_{t}^{r}\right)}^{\frac{1}{r}}\end{eqnarray} für x1,…,xn ∈ [0, ∞) und 0 < rs < ∞, und die sich daraus für Folgen (xk) nicht-negativer Zahlen ergebende Ungleichung \begin{eqnarray}{\left(\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{t=1}{x}_{t}^{s}\right)}^{\frac{1}{s}}\le {\left(\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{t=1}{x}_{t}^{r}\right)}^{\frac{1}{r}},\end{eqnarray} die mit der Vereinbarung ∞α = ∞ für α ∈ (0, ∞) auch im Fall bestimmt divergenter Reihen gelten.

Diese Ungleichungen führen zu Ungleichungen für die Normen ‖ ‖p auf den Räumen p(n) und p für p ≥ 1: Für 1 ≤ rs ≤ ∞ gilt ‖xs ≤ ‖xr für xr(n) bzw. xr (man beachte rs). Die Jensen-Ungleichung für Integrale ist mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zu beweisen und lautet \begin{eqnarray}{\left(\frac{1}{\mu (T)}\mathop{\int }\limits_{T}x{(t)}^{r}dt\right)}^{\frac{1}{r}}\le {\left(\frac{1}{\mu (T)}\mathop{\int }\limits_{T}x{(t)}^{s}dt\right)}^{\frac{1}{s}}\end{eqnarray} für x : T → [0, ∞) und 0 < rs < ∞, wobei T ⊂ ℝN sei mit \( \mu (T)=\mathop{\int }_{T}dt\in (0,\infty )\), die Existenz der Integrale vorausgesetzt.

Allgemeiner gilt: Ist (X, \({\mathcal{A}}\), μ) ein Maßraum mit 0 < μ(X) < ∞, und ist 0 < rs < ∞, dann gilt Ls(X) ⊂ Lr(X), und für fLs(X) ist \begin{eqnarray}\mu {(X)}^{-\frac{1}{r}}\parallel f{\parallel }_{r}\le \mu {(X)}^{-\frac{1}{s}}\parallel f{\parallel }_{s}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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