Aussage über den Banach-Mazur-Abstand d(X_n, ℓ²(n)) einesn-dimensionalen normierten Raums X_n zum euklidischen Raum ℓ²(n):

Es gilt \begin{eqnarray}d({X}_{n},{l}^{2}(n))\le \sqrt{n}.\end{eqnarray}

Der Satz gestattet folgende geometrische Umformulierung:

Es sei K ⊂ ℝⁿein konvexer symmetrischer Körper mit nicht leerem Inneren, und es sei E ⊂ K das (eindeutig bestimmte) Ellipsoid maximalen Volumens, das in K enthalten ist, das sog. John-Ellipsoid. Dann gilt K ⊂ \(\sqrt{n}E\).

Im nichtsymmetrischen Fall muß \(\sqrt{n}\)durch n ersetzt werden.

[1] Pisier, G.: The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry. Cambridge University Press Cambridge, 1989.